Контрольная работа 1. Часть 1

При выполнении контрольных заданий обязательно указывать название темы и номер задания, даже если задание не выполнено.

Вариант 1.1

Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если , , , , .

Задание 2. Вычислить , если , , , , .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , , .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки , перпендикулярно плоскости .

Задание 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами , , .

Задание 7. Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси , и проходит через точку .

Вариант 1.2

Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если , , , , .

Задание 2. Вычислить , если , , , , .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , , .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

Задание 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Задание 6. Найти точку пересечения плоскости с прямой, заданной каноническими уравнениями: .

Задание 7. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках , , а длина ее действительной оси равна 8.

Вариант 1.3

Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если , , , , .

Задание 2. Вычислить , если , , , , .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , , .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

Задание 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Задание 6. Найти точку пересечения плоскости с прямой, заданной каноническими уравнениями: .

Задание 7. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, описываемого уравнением .

Вариант 1.4

Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если , , , , .

Задание 2. Вычислить , если , , , , .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , , .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

Задание 5. Вычислить площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых и .

Задание 6. Найти точку пересечения плоскости с прямой, заданной общими уравнениями:

.

Задание 7. Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Вариант 1.5

Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если , , , , .

Задание 2. Вычислить , если , , , , .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , , .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

Задание 5. По известным координатам вершин треугольника , , записать для его сторон уравнения в общем виде и уравнение в общем виде биссектрисы угла .

Задание 6. Найти точку пересечения плоскости с прямой, заданной каноническими уравнениями: .

Задание 7. Найти координаты фокусов, вершин и уравнения асимптот гиперболы .

Вариант 1.6

Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если , , , , .

Задание 2. Вычислить , если , , , , .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , , .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Задание 6. Найти точку пересечения плоскости с прямой, заданной общими уравнениями:

.

Задание 7. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках и , а длина действительной полуоси равна .

Вариант 1.7

Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если , , , , .

Задание 2. Вычислить , если , , , , .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , , .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Задание 6. Вычислить расстояние от точки до прямой .

Задание 7. Найти координаты фокусов, вершин и уравнение асимптот гиперболы .

Вариант 1.8

Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если , , , , .

Задание 2. Вычислить , если , , , , .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , , .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

Задание 6. Найти уравнение прямой, проходящей через точки и .

Задание 7. Найти полуоси, координаты фокусов, уравнения директрис и эксцентриситет эллипса .

Вариант 1.9

Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если , , , , .

Задание 2. Вычислить , если , , , , .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , , .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами , , .

Задание 6. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей и .

Задание 7. Написать каноническое уравнение параболы, расположенной симметрично оси , имеющей вершину в начале координат и проходящей через точку .

Вариант 1.10

Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если , , , , .

Задание 2. Вычислить , если , , , , .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , , .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки , перпендикулярно плоскости .

Задание 6. Вывести общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

Задание 7. Найти полуоси, координаты фокусов, уравнения директрис и эксцентриситет эллипса .

3.1. Пример выполнения контрольной работы 1 (часть 1)

Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если , , , , .

Решение: Подставим в скалярное произведение выражения векторов через их базисы: , по свойствам скалярного произведения, имеем:

. Ответ: .

Задание 2. Вычислить , если , , , , .

Решение: Исходные вектора заданы через аффинный базис, поэтому, запишем их векторное произведение через соответствующие базисные вектора: {используя свойства векторного произведения, имеем} . Ответ: .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , , .

Решение: Так как векторы заданы в декартовом базисе, то смешанное произведение находится по формуле:

.

Ответ: .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение: Обозначим точку с координатами как , а точку с координатами как , тогда каноническое уравнение прямой, проходящей через данные точки запишется в виде: .

Преобразуем полученное уравнение: .

Ответ: .

Задание 5. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно оси и перпендикулярно к плоскости .

Решение: Обозначим нормаль плоскости как , а нормаль искомой плоскости как . Так как искомая плоскость по условию задачи перпендикулярна плоскости , то их нормали будут также перпендикулярны .

Возьмем на оси единичный вектор . По условию искомая плоскость параллельна оси , значит, ее нормаль и единичный вектор будут перпендикулярны .

По определению векторного произведения имеем:

, откуда .

Подставим в общее уравнение плоскости координаты ее точки и нормали, получаем: или .

Ответ: .

Задание 6. Вывести общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

Решение: Пусть нормаль искомой плоскости есть . По условию задачи искомая плоскость параллельна заданным векторам, следовательно, ее нормаль перпендикулярна к ним: и , и откуда следует, что нормаль есть их векторное произведение:

, , откуда координаты нормали: . Подставим найденные координаты нормали и координаты фиксированной точки в общее уравнение плоскости, получим: , или .

Ответ: .

Задание 7. Для гиперболы найти действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет.

Решение: Приведем исходное уравнение к каноническому виду: или , откуда действительная полуось , мнимая полуось , эксцентриситет , координаты фокусов определяются значением величины : и . Ответ: , , , , .