![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задача 4.1.
Вычислить матрицу по правилу: , где
;
;
.
Решение: По правилам выполнения арифметических операций, сначала выполняем операции, указанные в скобках. Найдем суммы матриц:
;
.
Теперь найдем произведение полученных матриц:
. Ответ:
.
Задача 4.2.
Вычислить матрицу , где
,
.
Решение:
1. Вычислим вспомогательную матрицу :
2. Вычислим вспомогательную матрицу :
3. Вычислим матрицу .
. Ответ:
.
Задача 4.3.
Вычислить определитель матрицы: .
Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке остались нули, кроме элемента в первом столбце. Один нуль уже есть, получим еще два. Для этого умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами третьего столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (-2) и сложим с четвертым столбцом. При этом, естественно, элементы первого столбца перепишем без изменения:
{Раскладываем определитель по элементам первой строки}
{Продолжим преобразования определителя. Получим в первой строке нули, кроме элемента в первом столбце. Умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами второго столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (-2) и сложим с элементами третьего столбца. Разложим полученный определитель по элементам первой строки}
. Ответ:
.
Задача 4.4. Вычислить обратную матрицу для .
Решение. 1)Вычислим определитель исходной матрицы, выполнив преобразования: умножим элементы первой строки на (-1) и сложим с элементами третьей строки. Затем разложим по элементам третьего столбца:
.
2) Транспонируем исходную матрицу .
3) Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента полученной матрицы:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
4) Запишем алгебраические дополнения в транспонированную матрицу вместо ее элементов. Разделив каждый элемент матрицы на определитель исходной, получим обратную:
.
Проверим выполнение условия :
. Ответ:
.
Задача 4.5. Вычислить матрицу, обратную к матрице: .
Решение. Вычислим определитель матрицы: сложим элементы третьего столбца с элементами первого и разложим по элементам третьего столбца:
.
Определитель равен нулю, значит, матрица вырожденная и для нее обратной не существует.
Ответ: обратной матрицы не существует.
Задача 4.6. Вычислить ранг матрицы: .
Решение. Матрица имеет четыре столбца и три строки, поэтому ее ранг не может превышать: . Однако, она содержит нулевые столбцы: второй и четвертый, значит все ее подматрицы 3-го порядка также будут содержать нулевые столбцы, и их определитель будет равен нулю. Поэтому, отбросив все нулевые столбцы имеем:
. Полученная матрица имеет три строки и два столбца, значит,
. Обратим внимание на элементы столбцов: они пропорциональны, поэтому любые подматрицы 2-го порядка, выделяемые из данной, также будут иметь определители, равные нулю. Следовательно, данная матрица имеет ранг равный 1.
Ответ: .
Задача 4.7. Вычислить ранг матрицы: .
Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, ранг матрицы от этого не изменится:
Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы первого столбца, кроме были равны нулю. Умножим все элементы первой строки на 2 и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем сложим все элементы первой строки с соответствующими элементами третьей строки:
{Теперь добиваемся, чтобы все элементы второго столбца, кроме
и
были равны нулю. Умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами четвертой строки. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей, то отбрасываем их}
.
Последняя матрица содержит миноры второго порядка не равные нулю, например: , следовательно,
.
Ответ: .
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 473 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!