Примеры решения типовых задач: кривые второго порядка

Задача 2.17

Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Решение: Приведем исходное уравнение к виду (2.2): выделим полные квадраты по и , для этого разобьем свободный член на элементы:

, или

. Согласно уравнению (2.2) получаем Ответ: координаты центра , радиус= .

Задача 2.18

Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, описываемого уравнением .

Решение:

1. Приведем уравнение к виду (2.3): перепишем в виде:

, откуда , .

2. Определяем расстояние фокусов от центра:

, то есть , .

3. Эксцентриситет данного эллипса определяем по формуле:

. Ответ: , , .

Задача 2.19

Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках , , а длина ее действительной оси равна 1.

Решение:

1. Для записи уравнения гиперболы в виде (2.4) необходимо знать величины и . Величина по условию задачи (длина вещественной оси). Определим величину .

2. Из условия задачи можно определить величину . Это первая координата фокуса, то есть .

3. По формуле определяем величину :

4. Подставляем в уравнение (2.4), получаем Ответ: .

Задача 2.20

Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси , и проходит через точку .

Решение:

1. По условию парабола симметрична оси и вершина расположена в центре координат, следовательно, для нахождения параметра параболы можно воспользоваться каноническим уравнением (2.5).

2. Подставим в уравнение (2.5) координаты точки, через которую проходит парабола: , откуда .

3. Следовательно, уравнение параболы можно записать как . Ответ: .