И перпендикулярности двух плоскостей

Пусть заданы две плоскости π₁ и π₂:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0

A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0.

Угол φ между двумя плоскостями π₁ и π₂ определяется углом между нормальными векторами ₁ = (А₁,В₁,С₁) и ₂ = (А₂,В₂,С₂) плоскостей π₁ и π₂. Поэтому или

. (3.24)

Для определения острого угла между двумя плоскостями следует взять модуль правой части.

Если плоскости π₁ и π₂ перпендикулярно, то перпендикулярны и нормальные векторы ₁ и ₂, т.е. ₁ ∙ ₂ = 0 или

А₁ А₂ + B₁ B₂ + C₁ C₂ = 0. (3.25)

Полученное равенство (3.25) и есть условие перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскости π₁ и π₂ параллельны, то параллельны и нормальные векторы ₁ и ₂, т.е. ₁ = λ ₂ или

. (3.26)

Это и есть условие параллельности двух плоскостей π₁ и π₂.