Вычисление площади поверхности вращения

1. Вычислить поверхность шара радиуса а.

Решение. Можно считать, что шар получен вращением вокруг оси Ох полуокружности

Отсюда

Следовательно, по формуле

.

2. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кубической параболы вокруг оси Ох от начала координат до точки с абсциссой х=1 (рис. 10)

Решение.

В этом случае Следовательно,

Рис. 10

3. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты вокруг полярной оси.

Решение. Действительные значения ρ получаются при , т.е. при (правая ветвь лемнискаты) или при (левая ветвь лемнискаты). Дифференциал дуги лемнискаты равен:

.

Кроме того, .

Искомая площадь поверхности Р равна двум площадям поверхности, образуемой вращением правой дуги. Поэтому

.