Вычисление длины дуги плоской кривой

1. Вычислить длину дуги цепной линии, заданной уравнением

,

от точки х=0 до точки х=4.

Решение. Воспользуемся формулой . Имеем:

и

Отсюда

2. Вычислить длину дуги кривой:

от t=0 до t= .

Решение. Дифференцируя по t параметрические уравнения кривой, получим:

Пользуясь формулой для длины дуги в параметрическом виде, получим:

3. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически

от начала координат (t=1) до ближайшей точки с вертикальной касательной.

Решение. Очевидно, что при t=1кривая проходит через начало координат. Далее,

Таким образом, касательная к данной кривой будет вертикальна во всех точках, для которых cost=0, т.е. в точках Ближайшей к началу координат (t=1) является точка со значением параметра .

Таким образом, пределы интегрирования найдены: . Теперь

Следовательно,

4. Найти длину замкнутой кривой

Решение. Так как должно быть то Отсюда

При изменении φ от 0 до длина радиус-вектора ρ возрастает от 0 до а, а конец радиус-вектора описывает дугу OAMB (рис.1). Затем при изменении φ от до 3π величина ρ убывает от а до 0; при этом описывается дуга BCAO, симметричная дуге OAMB относительно прямой .

Теперь вычислим длину кривой.

Рис. 1