Вычисление объемов тел

1. Вычислить объем пирамиды с высотой Н и площадью основания S0 (рис. 7)

Решение. Вершину пирамиды S примем за начало координат и направим ось Ох по высоте Н пирамиды от вершины к основанию. Рассечем пирамиду плоскостью, параллельной основанию и отстоящей от вершины S на расстоянии х, . Площадь этого сечения зависит от х, и мы обозначим ее через S(x). Пользуясь известным свойством сечений пирамиды, параллельных основанию, составляем пропорцию.

Рис. 7

, откуда .

Объем пирамиды равен

.

2. Определить объем сегмента параболоида вращения.

Решение. Пусть уравнение параболы, вращение которой вокруг оси Оx дает данный параболоид, будет . Обозначим: h - высота сегмента параболоида вращения, r - радиус основания сегмента, х - расстояние плоскости, параллельной основанию сегмента от вершины параболы вращения, а ρ- радиус окружности, получающейся в сечении параболоида вращения указанной плоскостью. Тогда , а площадь S(x) указанного сечения равна S(x)= Объем V_h сегмента параболоида вращения равен:

.

Площадь S основания сегмента равна и так как , то . Отсюда , и формулу для объема сегмента можно записать так:

,

т.е. объем сегмента параболоида вращения равен половине произведения площади основания сегмента на его высоту.

3. Вычислить объема тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади, ограниченной параболой и прямой у=3х-1.

Решение. Тело образовано вращением площади, ограниченной заданными кривыми (рис. 8) вокруг оси Ох.

Рис.8

Чтобы найти абсциссы точек пересечения кривых решаем систему уравнений:

Отсюда х₁=1, х₂=2. В нашем случае и . Следовательно, имеем:

Рис.8

4. Вычислить объем тора. Тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса а вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра (форму тора имеет, например, баранка).

Решение. Пусть круг вращается вокруг прямой AE (рис. 9). Тогда объем тора может быть рассмотрен как разность объемов вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Оу.

Рис. 9

Если систему координат поместить, как показано на рис. 9, то уравнение окружности LBCD будет иметь вид: ,

откуда , причем уравнение кривой BCD , а уравнение кривой BCD .

Следовательно, искомый объем равен:

Рис.9

.

5. Вычислить объем тела, которое образуется при вращении одной арки циклоиды вокруг оси абсцисс.

Решение. В формуле

Делаем замену переменной, полагая . Когда х изменяется от 0 до 2πа, t изменяется от 0 до 2π:

.

6. Найти объем тела, образованного вращением вокруг полярной фигуры, ограниченной этой осью и дугой логарифмической спирали .

Решение. Преобразуем уравнение кривой к параметрическому виду

Мы имеем

Поэтому

.

Мы получили отрицательное значение V, так как значению φ=0 соответствует точка (1;0), а значению π – точка N , лежащая левее точки M. Итак,

.