Формула Симпсона

Более точную формулу мы получим, если профиль криволинейной полоски будет считать параболическим.

Рассмотрим вертикальную полоску (рис. 6), ограниченную непрерывной кривой y=f(x), осью Ох (у=0) и двумя вертикалями х=-h, x=h.

Если h мало, то кривую y=f(x) приближенно можно заменить параболой:

, (1)

проходящей через точки А(-h,у_-1), В(0, у₀) и С(h, у₁). Тогда приближенно будет равен

. (2)

Полагая в формуле (1) последовательно х = -h, 0, h, получаем

,, , , (3)

Отсюда

, . (4)

Подставляя эти значения в формулу (2), будем иметь

(5)

(формула Симпсона).

Пример: Пользуясь формулой Симпсона, найти

.

Полагая h=π/2, имеем у_-1=0, у₀=1, у₁=0. Следовательно,

(точное значение I=2).

Используя параллельный перенос системы координат, формулу Симпсона можно писать в виде

, (5`)

где .

Замечание. Для увеличения точности вычисления определенного интеграла

промежуток интегрирования [a,b] разбивают на n частичных промежутков, где n – достаточно большое натуральное число, и к каждому из них применяют формулу Симпсона (5`), полагая . В силу свойства аддитивности данный определенный интеграл будет приближенно представлять сумму полученных так результатов (параболическая формула).