Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Теорема. Для того, чтобы существовал базис, в котором матрица оператора является диагональной, необходимо и достаточно



Для того, чтобы существовал базис, в котором матрица оператора является диагональной, необходимо и достаточно, чтобы размерности подпространств собственных векторов были равны кратностям соответствующих собственных значений как корней характеристического многочлена оператора .

Задача. Можно ли матрицу А линейного оператора линейного пространства V(P) привести к диагональному виду путем перехода к новому базису? Если можно, то найти этот базис и соответствующую ему матрицу.

а) б)

с) d)

Решение. Для каждой матрицы найдем характеристический многочлен

а) b)

c) d)

В случае а) не все корни многочлена действительны и, следовательно, матрица А не подобна диагональной матрице с действительными элементами.

В случае b) корнями многочлена являются различные действительные числа оператор с простым спектром, его матрица приводится к диагональному виду:

(по диагонали расположены собственные значения оператора ) в базисе где — собственный вектор, принадлежащий собственному значению

Найдем такие векторы.

Общее решение:

фундаментальная система решений:

х 1 х2 х 3
(0   0) = а i

Множество собственных векторов для — это \ .

.

Общее решение:

фундаментальная система решений:

х 1 х 2 х 3
(-2   -3)= а 2

\ — это множество собственных векторов для .

Общее решение:

Фундаментальная система решений

х 1 х 2 х 3
(-2   0)= а 3

\ — это множество собственных векторов для

Векторы образуют базис в котором оператор имеет матрицу

В случаях с) и d) по виду многочлена нельзя сказать, будет ли матрица подобна диагональной, так как имеются кратные корни. В этих случаях необходимо выяснить, сколько линейно независимых собственных векторов имеет собственное значение, являющееся кратным корнем многочлена

с). — двукратный корень. Найдем для него множество собственных векторов из условия

Общее решение:

Размерность пространства решений этой системы равна n-r (п — числонеизвестных,

r — ранг матрицы системы), то есть 3 - 1 = 2 — совпадает с кратностью собственного значения. Фундаментальная система решений:

х 1 х 2 х 3
(1 (0   2) = а 1 0) = а 2

а 1, а 2 - линейно независимы. Множество собственных векторов L(a1,a2)\ .

В этом случае матрица может быть приведена к диагональному виду

в базисе а 1, а 2, а 3, где а 1, а 2 найденные векторы, а 3 собственный вектор, принадлежащий простому собственному значению Его найдем из системы:

Общее решение:

Фундаментальная система решений:

х 1 х 2 х 3
(1   -3) = а 3

\ — множество собственных векторов для

d). - двукратный корень многочлена Найдем для него множество собственных векторов из условия

Общее решение: .

Размерность пространства решений этой системы равна 3 – 2 = 1, не совпадает с кратностью собственного значения в этом случае матрица А не может быть приведена к диагональному виду путем перехода к новому базису.


ЛИТЕРАТУРА





Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 227 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...