![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Для того, чтобы существовал базис, в котором матрица оператора является диагональной, необходимо и достаточно, чтобы размерности подпространств собственных векторов были равны кратностям соответствующих собственных значений как корней характеристического многочлена оператора
.
Задача. Можно ли матрицу А линейного оператора линейного пространства V(P) привести к диагональному виду путем перехода к новому базису? Если можно, то найти этот базис и соответствующую ему матрицу.
а) б)
с) d)
Решение. Для каждой матрицы найдем характеристический многочлен
а) b)
c) d)
В случае а) не все корни многочлена действительны и, следовательно, матрица А не подобна диагональной матрице с действительными элементами.
В случае b) корнями многочлена являются различные действительные числа
оператор с простым спектром, его матрица приводится к диагональному виду:
(по диагонали расположены собственные значения оператора ) в базисе
где
— собственный вектор, принадлежащий собственному значению
Найдем такие векторы.
Общее решение:
фундаментальная система решений:
х 1 | х2 | х 3 |
(0 | 0) = а i |
Множество собственных векторов для — это
\
.
.
Общее решение:
фундаментальная система решений:
х 1 | х 2 | х 3 |
(-2 | -3)= а 2 |
\
— это множество собственных векторов для
.
Общее решение:
Фундаментальная система решений
х 1 | х 2 | х 3 |
(-2 | 0)= а 3 |
\
— это множество собственных векторов для
Векторы образуют базис
в котором оператор
имеет матрицу
В случаях с) и d) по виду многочлена нельзя сказать, будет ли матрица подобна диагональной, так как имеются кратные корни. В этих случаях необходимо выяснить, сколько линейно независимых собственных векторов имеет собственное значение, являющееся кратным корнем многочлена
с). — двукратный корень. Найдем для него множество собственных векторов из условия
Общее решение:
Размерность пространства решений этой системы равна n-r (п — числонеизвестных,
r — ранг матрицы системы), то есть 3 - 1 = 2 — совпадает с кратностью собственного значения. Фундаментальная система решений:
х 1 | х 2 | х 3 |
(1 (0 | 2) = а 1 0) = а 2 |
а 1, а 2 - линейно независимы. Множество собственных векторов L(a1,a2)\ .
В этом случае матрица может быть приведена к диагональному виду
в базисе а 1, а 2, а 3, где а 1, а 2 — найденные векторы, а 3 — собственный вектор, принадлежащий простому собственному значению
Его найдем из системы:
Общее решение:
Фундаментальная система решений:
х 1 | х 2 | х 3 |
(1 | -3) = а 3 |
\
— множество собственных векторов для
d). - двукратный корень многочлена
Найдем для него множество собственных векторов из условия
Общее решение:
.
Размерность пространства решений этой системы равна 3 – 2 = 1, не совпадает с кратностью собственного значения в этом случае матрица А не может быть приведена к диагональному виду путем перехода к новому базису.
ЛИТЕРАТУРА
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 243 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!