Определение. Матрица называетсяхарактеристической матрицейматрицы А

Матрица называется характеристической матрицей матрицы А.

Многочлен называется характеристическим многочленом, а уравнение называется характеристическим уравнением матрицы Аили характеристическим уравнением оператора .

Равенство (3) показывает, что все собственные значения линейного оператора и только они являются корнями его характеристического многочлена.

Кратностью собственного значения линейного оператора называют кратность, с которой входит в качестве корня в характеристический многочлен оператора .

Вернемся к системе (2). Видим, что вектор тогда и только тогда есть собственный вектор оператора , принадлежащий собственному значению , когда координатная строка вектора х является ненулевым решением системы (2).

Задача. Найти собственные значения и соответствующие им собственные векторы линейного оператора пространства , если в некотором базисе оператор задан матрицей

Решение. Составим характеристическое уравнение оператора и найдем его корни. Действительные корни этого уравнения есть собственные значения оператора

. =

Собственными векторами, принадлежащими собственному значению будут те и только те ненулевые векторы, которые удовлетворяют условию то есть являются решениями системы (2) при

Общее решение системы .

Составим фундаментальную систему решений:

х 1	х 2	х 3	х 4
(1 (1 (1			0) = а 1 0) = а 2 1) = а 3

Пространство решений этой системы

Множество собственных векторов, принадлежащих собственному значению есть \ . Собственными векторами для будут те и только те ненулевые векторы, которые удовлетворяют условию то есть являются решениями системы (2) при .

Общее решение системы:

Составим фундаментальную систему решений:

х 1	х 2	х 3	х 4
(-1			1) = b

пространство решений системы L(b).

Множество собственных векторов, принадлежащих собственному значению есть L(b)\ .