Доказательство. С заданием координатного базиса устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством линейных операторов пространства V(P) и множеством

С заданием координатного базиса устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством линейных операторов пространства V(P) и множеством квадратных матриц n- ного порядка над Р:

Оно сохраняет все главные операции алгебры

Следовательно, рассматриваемое отображение Q(P) на множество квадратных матриц n -ного порядка над Р является изоморфизмом, а соответствующие алгебры изоморфны.

Задача.

Линейный оператор пространства переводит векторы в векторы соответственно, оператор переводит векторы в векторы соответственно. Найти матрицы операторов и в базисах и используя матрицы перехода от одного базиса к другому.

Решение. Найдем матрицу оператора в базисе Для этого найдем координаты векторов в базисе

— матрица оператора в базисе

Аналогично найдем матрицу оператора в базисе для этого нам понадобятся координаты в базисе

Системы для будут отличаться от последней системы линейных уравнений только столбцом свободных членов. Поэтому будем решать сразу три системы.

— это матрица оператора в базисе .

Матрица суммы операторов в базисе :

Составим матрицу перехода от базиса к базису Для этого выразим через Мы делали это выше. Координаты располагаем в столбцы матрицы перехода с теми же номерами.

Обозначим и матрицы операторов и в базисе

Запишем формулы связи между матрицами оператора в различных базисах:

Найдем