Теорема 2. Множество всех линейных отображений пространства U(P) в V(P) являетсявекторным пространством над полем Ротносительно операций сложения отображений и умножения

Множество всех линейных отображений пространства U(P) в V(P) является векторным пространством над полем Р относительно операций сложения отображений и умножения отображения на число из поля Р.

Доказательство:

Множество всех линейных отображений U в V обозначим и проверим, что — векторное пространство. . Роль нуля в Н играет нулевое отображение О, в самом деле, для любого

.

Для отображения противоположным является , так как

. В самом деле, = , следовательно,

Легко проверить, что для любых

, то есть — аддитивная абелева группа. Кроме того, легко проверить, что для любых и из Р

Таким образом, выполняются все условия из определения векторного пространства.