Доказательство. Полагая получим из (3) равенство первых столбцов матриц А и В

Полагая получим из (3) равенство первых столбцов матриц А и В.

Полагая получим равенство вторых столбцов матриц А и В. и т.д.

Вернемся к координатным базисам (1) и (2). Можно векторы системы (1) выразить через базис (2).

Матрица является матрицей перехода от базиса (2) к базису (1).

Пусть

(4), (5)

Подставим (5) в (4):

отсюда по лемме

Подставим (4) в (5):

по лемме отсюда следует, что

Таким образом, матрица перехода от одного базиса к другому всегда имеет обратную, которая является матрицей обратного перехода: