Алгоритм прямого ходу методу Гаусса

1) У першому рядку першому стовпці обирають ключовий елемент, що відрізняється від нуля (у разі необхідності слід поміняти місцями рядки розширеної матриці).

2) Перший рядок переписують без змін. Під ключовим елементом записують нулі. Інші елементи обчислюють за правилом прямокутника. Для цього кожен елемент, що потребує розрахунку, з’єднують з першим рядком і першим стовпцем і також з ключовим елементом. Розраховане значення елементу дорівнює різниці між добутком елементів діагоналі, яка містить ключовий елемент, і добутком елементів іншої діагоналі згідно схеми:

Тут - ключовий елемент; - елемент, що розраховується; - нове значення елементу : .

3) Далі за ключовий елемент обирають ненульовий елемент другого рядка і другого стовпця. Перший і другий стовпці доповнюють нулями.

4) Процедуру повторюють до приведення розширеної матриці до трикутного вигляду.

Для реалізації оберненого ходу за видом одержаної розширеної матриці виписують систему рівнянь і далі одержують загальний розв’язок.

Приклад 1.11.

Розв’язати методом Гаусса систему лінійних рівнянь:

Розв’язання. Раніше для цієї системи було доведено її сумісність. Прямий хід - приведемо розширену матрицю системи до трикутного вигляду за модифікованим методом Гауса:

Обернений хід - випишемо відповідну останній розширеній матриці систему рівнянь:

З останньої рівності знайдемо: , який підставимо у друге рівняння і одержимо: . В перше рівняння підставляємо вирази для і через і і одержимо .

Отже, загальний розв’язок системи має вигляд:

.

Тут - вільні змінні; - основні змінні.

Надамо вільним змінним певних значень і випишемо частинні розв’язки: