Метод Крамера

Метод Крамера (Габріель Крамер (1704-1752) ‑ швейцарський математик) застосовують до знаходження розв’язку квадратних систем лінійних рівнянь. В ньому застосовують поняття визначника основної матриці системи і допоміжних визначників , які отримують з визначника заміною першого, другого і так далі до го стовпця на стовпець вільних членів:

, , …, .

Наприклад, для системи, що містить три лінійних рівняння з трьома невідомими

,

маємо: , , , .

В залежності від значення визначника основної матриці та значень допоміжних визначників реалізується один з трьох варіантів:

1)	Якщо визначник основної матриці системи (1.8) не дорівнює нулю , то система (1.8) має єдиний розв’язок, який знаходять за формулами Крамера: . (1.10)
2)	Якщо основний визначник системи (1.8) дорівнює нулю і всі допоміжні визначники теж дорівнюють нулю , тоді система (1.8) має безліч розв’язків.
3)	Якщо основний визначник системи (1.8) дорівнює нулю, а хоча б один з допоміжних визначників не дорівнює нулю, тоді система не має жодного розв’язку.

Слід зауважити, що метод Крамера для випадку 2 тільки встановлює існування нескінченної множини розв’язків, але не дає їх виду.

Для однорідної системи лінійних рівнянь при система має єдиний розв’язок . При однорідна система має безліч розв’язків.

Приклад 1.7.

Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера

Розв’язання. Визначник основної матриці системи має вид . Оскільки він відрізняється від нуля, робимо висновок про існування єдиного розв’язку системи.

Обчислимо допоміжні визначники:

, , .

За методом Крамера згідно формул (1.10) маємо розв’язок:

.

Після знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь рекомендується провести перевірку правильності проведених обчислень.

Перевірка: підстановка у вихідну систему одержаних значень невідомих , , призводить до тотожностей: що підтверджує правильність отриманого результату.