Основні властивості скалярного добутку векторів

1)	;
2)	;
3)	;
4)	скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні: ;
5)	скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини: .

Нехай вектори і задані своїми координатами і , тоді формула скалярного добутку векторів і у координатній формі має вигляд:

. (2.5)

З відношення (2.5) випливає формула косинуса кута між векторами:

, (2.6)

або у координатній формі з урахуванням відношень (2.3) і (2.5):

. (2.7)

Проекція вектора на вектор , тобто , у координатній формі має вигляд

. (2.8)

Оскільки орти декартової системи мають координати , , , то з формули (2.7) для будь-якого вектору , одержимо наступні формули косинусів кутів з координатними осями або направляючі косинуси вектору :

,

, (2.9)

,

де - кути, що складаються вектором з осями .

Приклад 2.2.

Знайти , якщо

Розв’язання. .

Приклад 2.3.

Знайти кут між векторами і , якщо .

Розв’язання. Маємо , , звідки з урахуванням (2.3) і (2.5) знаходимо: , , , , .

Приклад 2.4.

Знайти кут між векторами і , якщо .

Розв’язання. Маємо , , звідки з урахуванням (2.3) і (2.5) знаходимо: , , , , .