Векторна алгебра

Найчастіше ми звикли використовувати скалярні величини (або скаляри), тобто такі величини для характеристики яких достатньо задати їх числове значення. Скалярними величинами є температура, маса, час, густина, площа, об’єм, довжина відрізка, електричний заряд, опір провідника, прибуток, рентабельність, обсяг виробництва, витрати підприємства, товарообіг.

Величини, які крім абсолютної величини характеризуються ще й напрямком, називають векторними. Вектори часто використовують у математиці, фізиці і технічних науках. Наприклад, силу характеризують дві властивості – модуль і напрямок. Сила є прикладом векторної величини. Багато інших фізичних величин (момент сили, швидкість, прискорення, напруженість силового поля) також є векторними величинами.

Векторна величина геометрично зображається з допомогою направленого відрізка певної довжини і певному масштабі після вибору одиниці масштабу.

Вектором називають направлений відрізок прямої (або упорядковану пару точок).

Вектор позначається двома буквами, причому перша - початок вектора, друга - його кінець. Наприклад, - вектор, початок якого збігається з точкою , а кінець - з точкою , напрямок – від до . Часто вектор позначають однією буквою, наприклад . Якщо вектор позначений однією буквою, то часто в книгах її виділяють жирним шрифтом, але без риски .

Геометрично вектор зображують відрізком із стрілкою (рис.2.1).

Рисунок 2.1 - Вектор

Довжиною (або модулем) вектора називають довжину відрізку, який його породжує.

Одиничним вектором (або ортом) називають вектор, довжина якого дорівнює одиниці.

Очевидно, що коли дано довільний вектор , то поділивши його на його довжину , одержимо одиничний вектор, наприклад , напрямок якого збігається з напрямком вектора .

Два вектори і називають колінеарними , якщо вони лежать на паралельних прямих (рис. 2.2).

Рисунок 2.2 - Колінеарні вектори.

Нульовий вектор є колінеарним з будь-яким вектором.

Два вектори і називають рівними , якщо вони колінеарні і мають однакові довжину і напрямок (рис.2.3).

Рисунок 2.3 - Рівні вектори .

Два вектори і називають взаємно протилежними , якщо вони колінеарні, мають однакову довжину і протилежно направлені (рис. 2.4).

Рисунок 2.4 - Взаємно протилежні вектори .

Позначають протилежний до вектору вектор як .

Вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній площині або паралельні їй.

Колінеарні вектори завжди компланарні, однак не всі компланарні вектори є колінеарними.

Два вектори і називають ортогональними , якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.

З означення вектору випливає наступне: при паралельному перенесенні вектору одержимо вектор, що дорівнює початковому. Тому початок вектору можна розміщувати у будь-якій точці простору. Отже, вектор може починатися в будь-якій точці простору. Домовимося вважати, що початок вектора співпадає з початком координат.

Над векторами як математичними об’єктами можна виконувати певні дії.