Метод оберненої матриці

Матричний метод засновано на використанні властивостей множення матриць. Цей метод є дуже зручним у випадку систем невисокого порядку.

Якщо основна матриця системи (1.8) є невиродженою, тобто , тоді для неї існує обернена . Помножимо матричну рівність (1.9) зліва на обернену матрицю :

. (1.11)

З відношення (1.11) з урахуванням відомої формули , а також властивостей множення матриць, а саме , випливає матрична форма розв’язку системи (1.8):

. (1.12)

Співвідношення (1.11) лежить в основі методу оберненої матриці.

Приклад 1.8.

Розв’язати систему лінійних рівнянь з прикладу 1.7 методом оберненої матриці.

Розв’язання. Для основної матриці системи , яка є невиродженою, оскільки , обернена буде такою:

.

Вектор-стовпець вільних членів є таким: . Тоді за формулою (1.12) одержимо: .

Отже, .

Приклад 1.9.

Розв’язати матричним методом систему лінійних рівнянь

Розв’язання. Знайдемо обернену до матриці з визначником : .

Тоді .

Отже, .

Незважаючи на обмеження можливості застосування методу оберненої матриці і складність обчислень при великих значеннях коефіцієнтів, а також систем високого порядку, матричний метод може бути легко реалізованим на ЕОМ.

Метод оберненої матриці і метод Крамера є дуже трудомісткими за кількістю обчислювальної роботи. Тим часом існують більше економічні методи розв’язання систем лінійних рівнянь, які опираються на попереднє перетворення матриці системи до спеціального виду. Одним із них є метод Гауса, що застосовується не тільки у випадку, коли .