![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Метод Гаусса – метод послідовного виключення змінних – полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь шляхом послідовного виключення змінних приводиться до рівносильної системи східчастого (або трикутного) виду, з якої, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходять всі інші змінні.
Метод Гаусса є універсальним методом розв’язання систем лінійних рівнянь (1.8). Метод Гаусса реалізується в два етапи, які розділяються на декілька кроків. Перший етап полягає у приведенні системи лінійних рівнянь до трикутного вигляду.
І етап - прямий хід виключень:
І крок - припустимо, що коефіцієнт (у протилежному випадку можна поміняти місцями рівняння у системі). Поділимо перше рівняння на
і за його допомогою виключимо з усіх інших рівнянь системи змінну
. Для цього слід одержане перше рівняння помножити на
, …,
та додати відповідно до другого, …, т -го рівнянь системи. Таким чином одержимо еквівалентну вихідній систему лінійних рівнянь, яка містить змінну
тільки у першому рівнянні.
ІІ крок - перше рівняння залишаємо без змін. Далі припустимо, що коефіцієнт при у другому рівнянні одержаної системи відрізняється від нуля. Слід розділити на нього друге рівняння і аналогічно першому кроку виключити змінну
з усіх рівнянь системи. Змінна
, таким чином, залишається тільки в першому та другому рівняннях.
ІІІ крок - Перше і друге рівняння залишаються без змін. За основу беруть третє рівняння і за його допомогою виключають змінну .
Процес послідовного виключення змінних продовжується до приведення вихідної системи лінійних рівнянь до системи лінійних рівнянь трикутного вигляду:
(1.13)
де ,
- нові коефіцієнти при невідомих.
Другий етап передбачає знаходження значень невідомих з одержаної системи рівнянь, проводячи рух у протилежному напрямку.
ІІ етап - обернений хід методу Гаусса:
І крок - з останньої рівності модифікованої системи визначаємо вираз змінної через змінні
, …,
.
ІІ крок - з передостанньої рівності визначаємо вираз змінної через змінні
, …,
з урахуванням виразу змінної
.
Далі проводяться аналогічні перетворення для знаходження виразу всіх інших змінних до . В результаті подібних розрахунків одержимо
(1.14)
Невідомі називають базисними змінними, а невідомі
називають вільними змінними.
Ранг основної матриці системи (1.8) дорівнює кількості базисних змінних.
Розглянемо застосування цього методу на конкретному прикладі.
Приклад 1.10. | Розв’язати методом Гаусса систему лінійних рівнянь: ![]() |
Розв’язання. Перший етап: приведемо вихідну систему до трикутного вигляду. Перше і третє рівняння поміняємо місцями і розділимо перше рівняння на :
Перше рівняння перепишемо без змін. Помножимо перше рівняння на та
і додамо до другого та третього рівнянь:
Третє рівняння розділимо на 10 і поміняємо місцями з другим:
Перше і друге рівняння перепишемо без змін. Друге рівняння помножимо на і додамо до третього:
Другий етап: знайдемо значення невідомих. З останньої рівності одержимо і підставимо у друге рівняння, з якого визначимо
. Підставимо значення
і
в перше рівняння системи і одержимо
. Отже, розв’язок вихідної системи є таким:
,
,
.
На практиці зручним виявляється застосовувати ідею методу Гаусса для перетворення елементів розширеної матриці системи лінійних рівнянь, а не до самих рівнянь. Така модифікація методу Гаусса заснована на використанні правила прямокутника.
Прямий хід методу Гаусса, тобто приведення розширеної матриці до трикутного вигляду, реалізується згідно наступного алгоритму.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 1020 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!