Основні властивості визначників

1)	Транспонування не змінює значення визначника.
	Наприклад, . (Ця властивість вказує на рівноправність рядків та стовпців з визначника.)
2)	Якщо всі елементи рядка (або стовпця) визначника дорівнюють нулю, тоді визначник дорівнює нулю.
	Наприклад, .
3)	Якщо визначник має два однакові рядки (або стовпці), тоді він дорівнює нулю.
	Наприклад, .
4)	Якщо визначник має два пропорційні рядки (або стовпці), тоді він дорівнює нулю.
	Наприклад, .
5)	Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (або стовпці), то знак визначника зміниться на протилежний.
	Наприклад, .
6)	Спільний множник рядка (або стовпця) можна винести за знак визначника.
	Наприклад, .
7)	Якщо до рядка (або стовпця) визначника додати його інший рядок (або стовпець), помножений на довільне число, то значення визначника не зміниться.
	Наприклад, .
8)	Якщо всі елементи рядка (або стовпця) визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі визначників, які визначаються цими доданками.
	Наприклад, .

Доведення властивостей визначників можна проілюструвати на прикладі визначника другого порядку, визначивши ліву та праву частину у наведених вище співвідношеннях.

Використовуючи властивості визначників і теорему Лапласа, можна легко обчислювати визначники високих порядків.

Квадратну матрицю, визначник якої дорівнює нулю, називають виродженою матрицею. Квадратну матрицю, визначник якої не дорівнює нулю, називають невиродженою матрицею.

Наприклад, визначник матриці відрізняється від нуля (), тому матриця не є виродженою.

Теорема 1.2.

Для того, щоб матриця мала обернену необхідно і достатньо, щоб визначник матриці відрізнявся від нуля.

Отже, невироджена матриця має обернену.

Обернену матрицю можна знайти за наступним правилом.

Теорема 1.3.

Обернена матриця дорівнює транспонованій матриці алгебраїчних доповнень до елементів матриці , яку поділено на визначник матриці .

Для матриць другого і третього порядку згідно теоремі 1.3 будемо мати наступні формули для знаходження оберненої матриці:

, (1.6)

. (1.7)

Правильність обчислення оберненої матриці перевіряють за допомогою співвідношень (1.1): і .