Застосування диференціала до наближених обчислень

а ) Наближене обчислення приросту функції:

Δf ≈ df = f '(x₀)·dx

Приклад 1. Обчислити приріст функції y = x³ – 2x +5 при зміні аргументу від 2

до 2,01.

Δx =dx = 2,01 – 2 = 0,01, x₀ = 2;

y' = 3x² – 2;

y'(2) = 3·2² – 2 = 10;

Δy = 10·0,01 = 0,1.

Відповідь: Δy = 0,1

Приклад 2. Знайти наближено приріст функції y = 3x²+2 при х=2 і Δх = 0,001. Визначити абсолютну та відносну похибки обчислень.

Оскільки приріст аргументу - величина мала, то приріст функції можна замінити її диференціалом:

Δf ≈ df = f '(x₀)·dx, х=2,dx =0,001.

y' = 6x;

y'(2) = 6·2 = 12;

dy = 12·0,001 = 0,012, dy=0,012.

Знайдемо помилку, отриману при заміні приросту функції її диференціалом. Для цього обчислимо точне значення приросту функції:

Δy = f(x+ Δх) – f(x) = 3(x+ Δх)² + 2 – (3x²+2) = 3x² + 6xΔx + 3(Δx)² +2 - 3x² – 2 =

= 6xΔx + 3(Δx)²;

Δy = 6·2·0,001 + 3·0,000001 = 0,012003.

Порівнюючи точне значення Δy з наближеним, бачимо, що абсолютна похибка становить

ε = | Δy – dy | = 0,000003.

Відносна похибка становить:

δ = = ≈ 0,00025 =0,025%.

Відповідь: ε = 0,000003; δ =0,025%.

б ) Обчислення наближеного значення функції в точці

При досить малому значенні |Δх| наближена рівність Δf ≈ df або Δy ≈ dy досить точна. Звідси знаходимо

f(x₀+ Δх) – f(x₀) ≈ f '(x₀)·dx;

f(x₀+ Δх) ≈ f(x₀) + f '(x₀)·dx

Приклад 3. Обчислити наближене значення функції y = x¹⁰+5x⁸-3x⁴-2x+1 в точці х = 1,002.

х = х₀+Δх = 1+0,002, х₀ = 1, Δх= 0,002

f(1,002) ≈ f(1) + f '(1)Δх;

f(1)= 1¹⁰ + 5·1⁸ - 3·1⁴ - 2·1 + 1 = 2;

f '(x) = 10x⁹ + 40x⁷ – 12x³ – 2;

f '(1)= 10·1⁹ + 40·1⁷ – 12·1³ – 2 = 36;

f(1,002) ≈ 2 + 36 ·0,002 = 2,072.

Відповідь: f(1,002) ≈ 2,072.

в) Обчислення наближеного значення степення

Скориставшись, що Δf ≈ df, запишемо формулу

(х₀ +Δх)ⁿ ≈ x₀ⁿ + n x₀^n-1 Δх;

Приклад 4. Обчислити (0,997)¹⁰.

(0,997)¹⁰= (1- 0,003)¹⁰≈ 1¹⁰ + 10·1⁹·(- 0,003) = 1 – 0,03 = 0,97.

Відповідь: 0,97

г) Обчислення наближеного значення корення

Запишемо формулу: ≈ + Δх.

Приклад 5. Обчислити .

= ≈ + ·(-0,03) = 2 + (-0,0025)= 1,9975.

Відповідь: 1,9975.

Завдання для самостійної роботи студентів

Обчислити наближено

1) ; 2) (3,007)⁴

Тема: Знаходження проміжків монотонності і точок екстремуму, проміжків опуклості, вгнутості та точок перегину

План

1. Дослідження функції на монотонність та екстремум за допомогою похідної.

2. Знаходження проміжків опуклості, вгнутості функції.

3. Точки перегину.

Література:

1. Вища математика: Навч. - метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. - К.: КНЕУ, 1999. - с. 148 – 153, 154 – 155.

2. Конспект лекцій з математики для 1 –го курсу.

Студенти повинні знати: означення зростаючої та спадної функції, необхідну та достатню умови зростання і спадання функції; означення екстремумів функції, необхідну та достатню умови екстремуму; означення опуклої та вгнутої кривої на проміжку, означення точки перегину, алгоритм знаходження проміжків опуклості і точок перегину.

Студенти повинні вміти: розв‘язувати вправи на знаходження проміжків монотонності, точок екстремуму, проміжків опуклості, вгнутості та точок перегину функцій.