Ознака спадання функції

Означення: Функція y =f (x), визначена на інтервалі (a;b), називається спадною, якщо для будь-яких значень х₁ і х₂ з цього інтервалу із нерів­ності x₂ > x₁ випливає нерівність f(x₂) <f (x₁).

Теорема 2. (Ознака спадання функції)

Якщо функція y =f (x) диференційовна в інтервалі (a;b) і в кожній точці цього інтервалу справджується умова f '(x)<0, то функція спадає на цьому інтервалі.

Означення: Внутрішні точки із області визначення функції, де похідна не існує або дорівнює нулю, називаються критичними точками функції.

Алгоритм дослідження функції на монотонність:

1) Знайти область визначення функції Д(y);

2) знайти похідну f '(x);

3) знайти критичні точки функції: f '(x) = 0;

4) відмітити область визначення функції і критичні точки на числовій прямій;

5) визначити знак похідної на кожному з інтервалів;

6) зробити висновок: якщо на розглянутому інтервалі похідна функції додатна, то на цьому інтервалі функція зростає, якщо від'ємна — спадає.

7) записати відповідь.

Приклад. 1 Визначити інтервали зростання і спадання функції

1)Функція визначена і диференційовна в інтервалі .

2) знайдемо похідну

.

3) знайдемо точки, в яких ця похідна дорівнює нулю, тобто критичні точки:

x₂ = -

4)

Оскільки похідна функції є не­перервна функція в інтервалі , то вона зберігає знак в інтервалах і .

5) Значення похідної в точці х = 2 від'ємне, а в точці х = 3 додатне.

6) Тому f '(x) < 0 для всіх і f '(x) > 0 для всіх .

Функція спадає в інтервалі і зростає в інтервалі

Приклад 2. Знайти проміжки зростання і спадання функції

Зробимо перетворення функції:

f(x) = + = 4x² +

□ Функція визначена і диференційовна на всій числовій прямій, крім точки х = 0,тобто D(y) = (- ∞; 0)U (0; ∞)

Знайдемо її похідну: y' = (4x² + ) ' = 8x- = ;

Критична точка функції х = розбиває область визначення функції на інтервали (- ∞; 0); ; .

Визначимо на кожному з них знак похідної.

Оскільки f '(x) > 0 на інтервалі (; ∞), то функція зростає на цьому інтервалі;

на інтервалах (- ∞; 0); f '(x) < 0, то функція спадає.