Необхідна умова екстремуму функції

Теорема (необхідна умова екстремуму функції) :

У точці екстремуму диференційованої функції похідна її дорівнює нулю: f '(x₂)=0.

Наслідок.

Неперервна функція може мати екстремум тільки в тих точ­ках, де похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Дійсно, якщо в точці x₀ екстремуму функції f(x) існує похідна f '(x₀),

то, в силу даної теореми, ця похідна дорівнює нулю.

Те, що в точці екстремуму неперервної функції похідна може не існува­ти, показує приклад функції, графік якої має форму «ламаної» (мал.1).

мал.1 мал.2

З тих обставин, що f '(x₀)=0, не випливає, що функція f(x) має екстремум при x=x₀.

Наприклад,

нехай f(x) = х³. Тоді f '(x)= Зх² і f '(0)= 0, однак значення f(0)= 0 не є екстремумом даної функції (мал.2).

Отже, не для всякого критичного значення аргументу функції f(x) має місце екстремум цієї функції. Через це поряд з необхідною умовою існу­ють достатні умови існування екстремуму функції.

Теорема (достатня умова екстремуму функції):

Нехай функція f(x) неперервна на деякому інтервалі, в якому знаходи­ться критична точка х₀, і диференційовна у всіх точках цього інтервалу (крім, може бути, самої точки х₀). Якщо при переході через цю точку похідна:

1) змінює знак з «+» на «-», то при х = х₀ функція має максимум;

2) змінює знак «-» на «+», то функція має у цій точці мінімум.

Приклад. Дослідити на екстремум функцію

f(x)= x³ – 3x + 2

1.Областю визначення функції є множина дійсних чисел, тобто хєR.

2. Знайдемо похідну функції:

f ′(x)= (x³ – 3x + 2)′ = 3х² – 3;

3. Знаходимо критичні точки: f ′(x) = 0

3х² – 3 = 0;

3(х² – 1) = 0;

(х² – 1) = 0;

(х – 1)(х + 1) = 0;

х₁ = - 1;х₂ = 1.

4. Відмічаємо ці критичні точки на числовій прямій:

f ′(x) + - +

______________-1_________________1_________________

f(x) ↑ ↓ ↑

5. Дослідимо знак похідної f ′(x) = 3х² – 3 на кожному із отриманих інтервалів:

f ′(-2)>0; f ′(0) < 0; f ′(2) > 0.

6. Точка х = - 1 − точка максимума, так як при переході через неї похідна змінює знак з «+» на «−»; точка х = 1 − точка мінімума, так як при переході через неї похідна змінює знак з «−» на «+»:

y_max= y(-1) = 4;

y_min = y(1) = 0.

Відповідь: х = - 1 − точка максимуму

х = 1 − точка мінімуму, y_max= y(-1) = 4;

y_min = y(1) = 0.

У деяких випадках точки екстремуму функції можна знайти за допомогою її другої похідної.