Та зразки їх виконання

2. А.А.Дадаян, І.А.Новік Алгебра і початки аналізу. Мінск, 1980р.

3. Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление.

М.Наука, 1964г.

4. К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова Вища математика. Київ,1999р.

5. В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик Математика. Москва,1991г.

6. Н.В.Богомолов Практические занятия по математике. Москва,1990г.

Таблиця варіантів

I

Знайти границі функцій:

1. а) ; b) .

2. a) ; b) .

3. a) ; b) t wx:val="Cambria Math"/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>)</m:t></m:r></m:e><m:sup><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>x</m:t></m:r></m:sup></m:sSup></m:e></m:func></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

4. a) ; b) .

5. a) ; b) .

6. a) ; b) .

7. a) ; b) .

8. a) ; b) .

9. a) ; b) .

10. a) ; b) .

11. a) ; b) .

12. a) ; b) .

13. a) ; b) .

14. a) ; b) .

15. a) ; b) .

II

Знайти похідні таких функцій:

1. a) y= x ; b) y =(; c) y –cos(x+y) = 0.

2. a) y = arctg(; b) y =(; c) x – y + asiny = 0.

3. a) y = ; b) y = 2 ; c) tgy = 4y-5x.

4. a) y = ; b) y = ; c) - 3y + 2ay = 0.

5. a) y = ; b) y = (; c) .

6. a) y = cos2x ; b) y = ; c) ysinx – cos(x – y) = 0.

7. a) y = ; b) y = (ln(; c) .

8. a) y = ; b) y = (; c) .

9. a) y = ; b) y =(; c) x – y = arcsinx – arcsiny.

10. a) y = ; b) y = (; c) 3y = 7 + x .

11. a) y = ; b) y = ; c) x – y + arctgy = 0.

12. a) y = ; b) y = (; c) x – y + .

13. a) y = arcsin ; b) y = ; c) lny - .

14. a) y = ; b) y = (; c) 2ylny = x.

15. a) y= lnsin(2x + 3); b) y = (; c) y = 1 + x .

III

Знайти похідні функцій що задано параметрично:

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7. 14.

15.

IV

Знайти найбільше та найменше значення функції y = f(x) на відрізку :

1. f(x) =

2. f(x) =

3. f(x) =

4. f(x) = 3

5. f(x) =

6. f(x) = 2

7. f(x) =

8. f(x) =

9. f(x) = 3 - 2

10. f(x) = x -

11. f(x) = (1 -

12. f(x) = -

13. f(x) = (

14. f(x) =

15. f(x) =

V

Дослідити функцію методами диференціального числення та використовуючи результати дослідження, побудувати її графік.

1. y = 2. y = 3. y = 4. y =

5. y = 6. y =

7. y = 8. y =

9. y = 10. y =

11. y = 12. y =

13. y = 14. y = 15. y =

Тема: Функції, способи їх задання, область визначення, границя та неперервність

План

1. Означення функції.

2. Область визначення та множина значень функції.

3. Способи задання функції.

4. Поняття про границю функції в точці.

5. Правила обчислення границь.

6. Означення неперервної функції.

Література:

1.,, Алгебра и начала анализа “. Под ред. Г.Н. Яковлева, часть 1. – М.: Наука,1998. Гл. 4, § 13.

2. Конспект лекцій з математики для 1- го курсу.

Студенти повинні знати: означення функції, її області визначення і множини значень, способи задання функцій, означення неперервної функції.

Студенти повинні вміти: знаходити область визначення функцій, досліджувати функції на неперервність, будувати графіки функцій.

Означення: Функцією називається залежність змінної від змінної , при якій кожному значенню відповідає єдине значення

Позначають функцію за допомогою рівності

Змінну називають незалежною змінною або аргументом, а змінну – залежною.

Означення: Множина значень, яких набуває незалежна змінна , називається областю визначення функції.

Означення: Множина відповідних значень залежної змінної , яких вона набуває при всіх значеннях з області визначення функції, називається областю значень.

Основними способами задання функцій є:

1) Табличний спосіб – в таблиці вказують кілька значень аргументу і відповідні їм значення функції.

2) Аналітичний спосіб – задається формула, яка виражає залежність змінної від змінної .

3) Описовий спосіб – наприклад, кожному натуральному числу поставлено у відповідність його куб.

4) Графічний спосіб – застосовується в тих випадках, коли аналітично задати функцію досить важко.

Розглянемо найбільш важливі моменти, які потрібно враховувати при знаходженні області визначення функції.

№ п/п	Функція	Область визначення
1.	(многочлен -го степеня)
2.
3.
4.

Означення: Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки Число називається границею функції в точці , якщо для довільної послідовності значень аргумента що сходяться до , послідовність відповідних значень функції прямує до

, якщо

Теореми про границі:

1)

2)

3)

4) якщо

Означення: Функція називається неперервною в точці , якщо границя функції в точці існує і дорівнює значенню функції в цій точці:

Отже, згідно з означенням, неперервність функції в точці означає виконання наступних умов:

1) функція визначена в точці ;

2) у функції повинна існувати границя в точці ;

3) границя функції в точці співпадає з значенням функції в цій точці.

Приклади розв‘язування вправ

Вправа 1. Знайти область визначення функції:

Розв‘язання:

Складемо систему:

Нерівність розв‘язуємо методом інтервалів.

+

–

+

X

-1

Отже, – область визначення даної функції.

Вправа 2. Знайти множину значень функції

Розв‘язання:

Виразимо змінну через

тому, – множина значень функції.

Вправа 3. Знайти границі функції:

а)

б)

Вправа 4. Дослідити функцію на неперервність в точці .

Розв‘язання:

Знайдемо область визначення функції:

Отже, число 3 не належить області визначення функції, тому в цій точці вона не є неперервною.

Завдання для самостійного розв‘язування:

1. Знайти границі функцій:

а) б) в)

2. Знайти точки розриву функції, якщо вони існують.

а) б)

3. Знайти область визначення функції:

а) б)

Тема: Частинні похідні та повний диференціал вищих порядків функції двох змінних

План

1. Частинні похідні вищих порядків.

2. Диференціали вищих порядків.

3. Приклади знаходження частинних похідних і диференціалів вищих порядків.

Література:

1. Вища математика: Навч. - метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. - К.: КНЕУ, 1999. - с. 192.

2. Методична розробка з дисципліни «Основи вищої математики» на тему: «Функції багатьох змінних».

Студенти повинні знати: означення частинних похідних і диференціалів другого, третього та вищих порядків.

Студенти повинні вміти: обчислювати частинні похідні та повні диференціали вищих порядків.

Нехай функція має частинні похідні в усіх точках множини Візьмемо довільну точку в ній існують частинні похідні першого порядку

Вони залежать від і , тобто є функціями двох змінних. Тому можна знаходити їх частинні похідні. Якщо вони існують, то називаються похідними другого порядку і позначають:

або або

або або

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків, наприклад,

Диференціалом другого порядку від функції називається диференціал від її повного диференціалу, тобто

Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків:

Приклади розв‘язування вправ

1. Знайти якщо

2. Знайти для функції

Приклади для самостійного розв‘язування:

1. Знайти частинні похідні другого порядку функції якщо:

а)

б)

2. Знайти диференціал другого порядку функції якщо:

а)

б)

Тема: Похідна неявної функції

План

1. Поняття про похідну неявної функції двох змінних.

2. Приклади обчислення похідних неявних функцій.

Література:

1. Вища математика: Навч. - метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. - К.: КНЕУ, 1999. - с. 193-194.

2. Методична розробка з дисципліни «Основи вищої математики» на тему: «Функції багатьох змінних».

Студенти повинні знати: означення неявної функції та формулу для знаходження похідної неявної функції.

Студенти повинні вміти: обчислювати похідні неявних функцій.

Якщо існує неперервна функція однієї змінної така, що відповідні пари задовільняють умову то ця умова називається неявною формою функції .

Сама функція називається неявною функцією, яка задовільняє умову

Нехай неперервна функція задана в неявній формі і Похідна знаходиться за формулою:

Частинні похідні функції двох незалежних змінних яка задана за допомогою рівняння де – диференційовна функція змінних можуть бути можуть бути обчислені за формулами:

за умови, що

Приклади обчислення похідних:

1) Знайти похідну від неявної функції в точці

Якщо то

2) Знайти якщо

В даному випадку

Знайдемо

, ,

Завдання для самостійного розв‘язування

1. Знайти якщо

2. Знайти якщо

Тема: Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

План

1. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.

2. Розв'язування вправ.

Література:

1. Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни "Вища математика" (К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін.) ст.203-204.

2. Методична розробка з дисципліни «Основи вищої математики» на тему: «Функції багатьох змінних».

Студенти повинні знати: правило знаходження найменшого та найбільшого значення функції в замкненій області.

Студенти повинні вміти: знаходити найменше та найбільше значення функції в замкненій області.

Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

Якщо функція неперервна на замкнутій обмеженій множині D то вона досягає на ній найбільшого та найменшого значень. Ці значення вона приймає або в точках екстремума або на межі області. Для того, щоб знайти найбільше та найменше значення в замкненій області, необхідно:

1. Знайти стаціонарні точки, які розташовані в даній області.

2. Обчислити значення функцій в цих точках.

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на лініях, що утворюють межу області.

4. Із всіх знайдених значень вибрати найбільше та найменше.

Приклад.

Знайти найменше і найбільше значення функцій z = x³ + у³ -3ху в замкненій області D, що задана системою нерівностей 0 х 2;-1 у 2

Зробити малюнок.

Розв'язання:

Область D - прямокутник ABCD

Найбільше та найменше значення функції в замкненій області досягається в стаціонарних (критичних) точках або на межі області. Знайдемо частинні похідні і складемо систему рівнянь для знаходження стаціонарних точок:

Розв'язуючи систему, знаходимо дві стаціонарні точки O(0;0),Р(1;1)є D. Значення функції в цих точках z₀ =0, z_p =1

Дослідимо функцію на межі області:

а) На АВ (х=0) маємо z = y³ у [-1;2].

z' = 3y² 3y²=0 y = 0

Знайдемо значення функції на кінцях відрізка z_A = -1 z_B = 8.

б) На ВС (у=2) маємо z = х³ + 8 - 6х х є [0;2]

z' = 3x² -6; z' = 0=>3x² -6 = 0

х,= М()

х2 =

тоді z_M = 8 - ; z_c = 4

в) На CD (х=2) маємо z = у³ + 8 - by

Знайдемо значення цієї функції в стаціонарній точці і на кінцях відрізка [-1;2].

z' = 3y²-6 z' = 0=>3y² -6 = 0

y²=2 y,=

y₂ =

Одержали

N(2; )

Z_N=8-4 Z_D=13

г)На AD (y=-1) маємо z = x³-1+3x x

z_D=13

Порівнюючи отримані значення функції, встановлюємо, що z_max =13 в точці D(2;-l)

z_min= -1 в точках P(l;l) А(0;-1)

Відповідь: z_max=13, z_min =-1

Завдання для самостійної роботи

Знайти найменше та найбільше значення функції z = f(x;y) в замкненій області Д що задана системою нерівностей. Зробити малюнок.

1 ) z = x-2y² D: 0 х 1, 0 у 2

2) z = ху - х - 2у D: х З, у х,у 0

Тема: Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості

План

1. Означення первісної.

2. Теорема про множину первісних.

3. Означення невизначеного інтеграла.

4. Властивості невизначеного інтеграла.

Література:

1.,, Алгебра и начала анализа “. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука,1987. § 41.

2. Конспект лекцій з математики для 1- го курсу.

Студенти повинні знати: означення первісної функції, невизначеного інтеграла, властивості та таблицю невизначених інтегралів.

Студенти повинні вміти: знаходити первісні функцій, невизначені інтеграли.

Інтегрування – це знаходження функції по відомій її похідній.

Наприклад: f(x) = 5x⁴ , F(x) = x⁵;

f(x) = cosx, F(x) = sinx;

f(x) = e^x, F(x) = e^x, де F(x) – це первісні.

Означення: F(x) називається первісною для функції f(x),

якщо для всіх значень х з області визначення функції виконується рівність:

F′(x) = f(x).

Операція інтегрування неоднозначна, тобто, якщо для f(x) існує первісна, то їх нескінченно багато.

Загальний вигляд первісної:

F(x) + С, деC- const.

Означення: Сукупність усіх первісних y = F(x) + С для функції y = f(x) на деякому проміжку називається невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначається символом :

= F(x) + С.

.

Властивості невизначених інтегралів

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

()′= (F(x) + С)′ = F ′(x) + (С)′ = f(x) + 0 = f(x).

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу. Справді,

d() = d(F(x) + С) = (F(x) + С)′ dx = f(x)dx.

3. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від цих функцій, тобто

dx = dx ± dx.

4. Сталий множник можна винести за знак невизначеного інтеграла,тобто

dx = k , k – const.

Основні (табличні) інтеграли

1. 7. = - cosx + C.

2. = C. 8. = sinx + C.

3. = + C, (n≠ - 1) 9. = - ctgx + C.

4. = = ln ׀ x ׀ + C. 10. = tgx + C.

5. = + C. 11. = arctgx + C.

6. = e^x + C. 12. = arcsinx + C.

13. = F(kx + b) + C.

Приклади розв‘язування вправ

Вправа 1. Довести, що функція є первісною для функції на вказаному

проміжку.

1)

Знайдемо похідну функції

при всіх

2)

для всіх дійсних чисел, крім

Вправа 2. Знайти загальний вигляд первісної для функції на

1)

2)

Вправа 3. Знайти первісну функції, графік якої проходить через задану точку.

Отже,

Вправа 4. Знайти невизначені інтеграли.

1)

2)

3)

4)

Приклад 1. Знайти інтеграл і результат перевірити диференціюванням:

.

Розв’язання:

Скориставшись властивістю 3 невизначених інтегралів і табличним інтегралом 3, дістанемо

= = .

Перевірка:

()′ = = х³ + х² - = х³ + х² - .

Відповідь: = .

Приклад 2. Знайти інтеграл .

Розв’язання.

Скориставшись властивістю 3 невизначених інтегралів і табличними інтегралами 7 і 5, маємо.

= = - cosx + .

Відповідь: = - cosx + .

Приклад 3. Знайти інтеграл .

Розв’язання:

= 10 .

Відповідь: = .