Тема: Розв’язування вправ на диференціювання функцій

План

1. Поняття функції, що задана неявно.

2. Обчислення похідної функції, заданої неявно.

3. Параметричне задання функції та знаходження її похідної.

Література:

1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М., Наука. 1989. – с. 214.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М., Наука. 1972. – §11 cт. 85-87, § 18 ст. 102-103.

3. Розрахункова робота по темі «Похідна функції та її застосування» і методичні вказівки щодо її виконання.

Студенти повинні знати: поняття неявно, параметрично заданих функцій, правила їх диференціювання.

Студенти повинні вміти: диференціювати функції, що задані неявно або параметрично.

Неявна функція та її диференціювання

Нехай значення змінних та пов‘язані між собою рівнянням (1).

Якщо функція визначена на інтервалі така, що рівняння (1) після підстановки в нього замість виразу перетворюється в тотожність відносно , то функція є неявною функцією, що визначена рівнянням (1).

Так, наприклад, рівняння неявно визначає елементарні функції та .

Але не будь-яку неявно задану функцію можна подати явно, тобто у вигляді , де - елементарна функція.

Наприклад, функції, задані рівнянням

або

не виражається через елементарні функції, тобто ці рівняння не можна розв‘язати відносно

Щоб знайти похідну неявної функції по аргументу , що задана рівнянням диференціюємо по ліву частину цього рівняння вважаючи функцією від (користуючись правилом диференціювання складеної функції). Результат прирівнюємо до нуля (т. я. похідна правої частини ). В результаті отримаємо рівняння відносно , з якого виражаємо шукану похідну .

Приклади обчислення похідних неявно заданих функцій:

1). диференціюємо обидві частини рівності по , вважаючи функцією від :

2).

3).

Параметричне задання функції та її похідна

Нехай дано два рівняння де (1)

Кожному значенню відповідають значення та Якщо розглядати ці значення як координати точки координатної площини , то кожному значенню буде відповідати певна точка площини. Коли змінюється від до то ця точка на площині описує деяку криву.

Рівняння (1) називаються параметричними рівняннями цієї кривої, - параметром, а спосіб задання функції рівнянням (1) називається параметричним.

Перша похідна функції, заданої параметрично, обчислюється за формулою:

або

Для обчислення другої похідної застосовують формулу:

Приклади обчислення похідної функції, що задана параметрично.

1)

Отже, похідна першого порядку:

Тому похідна другого порядку дорівнює:

2) Обчислити значення першої похідної при

Завдання для самостійного розв‘язування

1) Знайти похідну неявних функцій:

а)

б)

в)

2) Знайти функцій, заданих параметрично.

а)

б)

в)