Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса

Розв’язання:

Розширена матриця системи має вигляд:

Виконаємо елементарні перетворення над рядками матриці.

Третій рядок помножимо на (-3) і додамо до елементів першого рядка, а потім помножимо на (-2) і додамо до другого рядка, одержимо:

Поділимо елементи другого рядка на (-3):

Помножимо елементи другого рядка на 7 і додамо до елементів першого рядка, отримаємо:

Скорочуючи елементи першого рядка на і змінюючи порядок запису рядків, одержимо:

Цій матриці відповідає система рівнянь:

Звідси отримаємо розв’язок системи:

Отже, , ,

Відповідь:(1;1;-1)

Завдання для самостійного розв‘язування

Вправа 1. З‘ясуйте, чи мають розв‘язки системи рівнянь.

а)

б)

Вправа 2. При яких значеннях а система має єдиний розв‘язок?

Вправа 3. При яких значеннях а система рівнянь має безліч розв‘язків?

Вправа 4. Пряма задана рівнянням

Чи проходить вона через точку перетину прямих, заданих рівняннями?

Вправа 5. ^* Розв‘яжіть систему рівнянь.

Тема: Лінійні операції над векторами в координатній формі. Скалярний добуток і його властивості. Кут між векторами

План

1. Вектор, координати вектора.

2. Лінійні операції над векторами в координатній формі.

3. Скалярний добуток векторів і його властивості.

4. Кут між векторами.

Література:

1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1989. Глава 2, § 4,5,6.

2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. – М.: Высш. шк., 1991. Глава III, § 1,2,3.

3. Конспект лекцій з математики для 1 –го курсу.

Студенти повинні знати: означення вектора, лінійних операцій над векторами, скалярного добутку векторів.

Студенти повинні вміти: виконувати дії над векторами в координатній формі, обчислювати скалярний добуток векторів, кут між векторами.

Вектором називається напрямлений відрізок. Позначається , або .

Якщо задано координати початку та кінця : то

Абсолютною величиною (модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображає цей вектор

.

Над векторами можна виконувати дії додавання, віднімання, множення на число.

Сумою векторів і називається вектор

Різницею векторів і називається вектор , який в сумі з вектором дорівнює вектору .

Добутком вектора на число називається вектор

.

Скалярним добутком векторів і називають число .

Скалярний добуток векторів і дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними.

З цієї рівності знайдемо косинус кута між векторами:

.

Лінійні операції над векторами в координатній формі

1. Координати вектора А(х_1; у_1; z₁), B (х_2; у_2; z₂) = (x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁)

2. Довжина вектора (модуль (х;у;z) ׀ ׀ =

або абсолютна величина)

3. Відстань між двома А(х_1; у_1; z₁), B (х_2; у_2; z₂) ׀АВ׀ =

точками

4. Сума векторів (х₁;у₁;z₁), (х_2; у_2; z₂) + = (х_{1 +} х_2; у₁₊ у_2; z₁₊ z₂)

5. Різниця векторів (х₁;у₁;z₁), (х_2; у_2; z₂) − = (х_{1 -} х_2; у_1- у_2; z_1- z₂)

6. Множення вектора (х₁;у₁;z₁) k· = (k х₁; k у₁; k z₁ )

на число k- довільне число

7. Скалярний добуток (х₁;у₁;z₁), (х_2; у_2; z₂) · = (х₁· х_{2 +} у₁ ·у_{2 +} z₁· z₂)

векторів

8. Кут між векторами (х₁;у₁;z₁), (х_2; у_2; z₂)

9.Умова перпендикулярності (х₁;у₁;z₁), (х_2; у_2; z₂) · = 0

векторів

х₁· х_{2 +} у₁ ·у_{2 +} z₁· z₂ = 0

10. Умова колінеарності (х₁;у₁;z₁), (х_2; у_2; z₂)

векторів

11. Координати середини А (х₁;у₁;z₁), В(х_2; у_2; z₂) ;

відрізка AB АС=СВ .

Приклади розв‘язування вправ

Вправа 1.

Дано вектори :

Знайти а)

б)

в)

г)

Розв‘язання:

Застосуємо правила додавання, віднімання векторів, множення вектора на число.

а)

б)

в)

г)

Вправа 2. Дано два вектори такі, що а кут між ними 45^°. Знайти

Розв‘язання:

Вправа 3. Знайти кут між векторами

Розв‘язання:

Застосуємо формулу:

Вправа 4. При якому значенні вектори і перпендикулярні?

Розв‘язання:

Знайдемо скалярний добуток векторів: Якщо то тому Отже, при

Завдання для самостійного розв‘язування

Вправа 1. Дано вектори

Знайти: а) б) в)

г) д)

Вправа 2. Знайти кут між векторами

Вправа 3. Знайти периметр трикутника з вершинами

Вправа 4. Довести, що трикутник з вершинами прямокутний.

Тема: Означення похідної, її фізичний зміст. Геометричний зміст похідної

План

1. Задачі, що приводять до поняття похідної.

2. Означення похідної функції в точці.

3. Механічний зміст похідної.

4. Геометричний зміст похідної.

Література:

1. Вища математика: Навч. – метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – с. 125 – 127.

2. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука.1987. § 29.

3. Конспект лекцій з математики для 1 –го курсу.

Студенти повинні знати: означення похідної функції в точці, в чому полягає фізичний і геометричний зміст похідної.

Студенти повинні вміти: застосовувати фізичний та геометричний зміст похідної для розв‘язування задач.

Задача про миттєву швидкість

Нехай рух тіла описується законом В момент часу тіло пройде шлях , а в момент - шлях Тому за час тіло пройде шлях і середня швидкість руху дорівнює .

Границя середньої швидкості за інтервал часу , коли є миттєвою швидкістю руху.

Задача про дотичну до кривої

Для побудови дотичної до графіка функції в точці потрібно знати кут, який утворює дотична з додатним напрямом осі Ох.

, де - кутовий коефіцієнт дотичної.

За допомогою ,крім розглянутих,розв‘язують інші задачі (наприклад, про швидкість хімічної реакції, знаходження лінійної густини неоднорідного стержня, кутової швидкості тіла, що обертається та ін.). Цю границю в математиці називають похідною.

Нехай функція задана на деякому інтервалі . Візьмемо довільну точку

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до 0, а границя існує.

.

Миттєва швидкість нерівномірного руху є похідною від шляху тобто В цьому полягає механічний зміст похідної.

Задача про дотичну дає змогу з‘ясувати геометричний зміст похідної:

з геометричної точки зору похідна функції у = f(х) в точці х₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка, що проведена в цій точці або тангенсу кута нахилу дотичної до осі ox.

f ' (x₀)= tg α = k_дот.

Знайти похідну функції y = .

y' = ()' = ·(x⁴- 3x² +5)' = = = ;