![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Розглянемо приріст функції у довільній точці х:
∆y =(x + ∆x)2 – x2 = 2x∆x + (∆x)2 (1)
Множником при ∆x, як бачимо, є похідна від даної функції, тобто
y′ = 2x (2)
Враховуючи рівність (2), рівність (1) перепишемо так:
∆y = y′ ∆x + (∆x)2 (3)
Прослідкуємо за зміною величини обох доданків у правій частині рівності (3) при зменшенні ∆x
Покладемо, наприклад, x= 2. Тоді y′ = 4. Складемо таку таблицю
значень цих доданків:
Розглянувши таблицю, бачимо, що доданки y′ ∆x і (∆x)2 зменшуються,
із зменшенням ∆x, причому перший доданок змінюється пропорційно Δх, другий - значно швидше. Зокрема, при ∆x =0,01 приріст функції ∆y = 0,004 + 0,000001 = 0,004001
Як бачимо, основна частка приросту припадає на перший доданок.
Означення: Диференціалом функції називають добуток її похідної на приріст аргументу.
Нехай маємо функцію y = f (x). Її диференціал позначають через dy
(або df(x)). За означенням
dy = f ′(x) ∆x. (4)
Диференціал функції подають у такому вигляді:
dy = f '(x)dx (5)
Щоб знайти диференціал функції необхідно:
1. знайти похідну функції;
2. помножити її на диференціал аргументу.
З формули (5) випливає ще одне означення похідної:
f '(x) =
Отже, похідну можна розуміти як відношення диференціала функції до диференціала аргументу.
Зазначимо,що диференціал має дві властивості.
1. Диференціал функції—це головна частина приросту функції.
2. Диференціал у розглядуваній точці х0 є лінійною функцією від Δх.
Приклад. Знайти диференціал функції y = 5 lnx4.
dy = f '(x)dx
Знайдемо похідну: y '= (5 lnx4)' = 5 (lnx4)' = 5· · (x4)' = 5 ·
=
dy = dx.
Відповідь: dy = dx.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 877 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!