Теорема

Якщо в деякій точці x₀ перша похідна функції дорів­нює нулю, а друга — більша від нуля, тобто

f '(x₀) = 0, f "(x₀) > 0, то

x₀ — точка мінімуму функції.

Якщо в деякій точці x₀ перша похідна функції дорівнює нулю, а друга — менша від нуля, тобто

f '(x₀) = 0, f "(x₀) < 0, то

х₀ — точ­ка максимуму функції.

Ця теорема дає змогу сформулювати друге правило дослідження функ­ції на екстремум.

Друге правило: щоб дослідити функцію на екстремум, потрібно:

1.Знайти область визначення функції;

2.знайти першу похідну: f(x)′;

3.знайти критичні (стаціонарні) точки заданої функції: f(x)′ = 0;

4.знайти похідну другого порядку: f(x)′′;

5.обчислити похідну другого порядку в критичних точках;
6. зробити висновок:

якщо похідна f(x₀)′′ ≠ 0, то х₀ є екстремальною точкою для функції f(x),

а саме точкою мінімуму, якщо f"(x₀) > 0,

і точкою максимуму, якщо f"(x₀)<0;

7.обчислити значення функції в точках екстремуму.

Зауважимо, що друге правило є більш зручним при користуванні, ніж перше. Проте, якщо друга похідна в стаціонарній точці перетворюється в нуль, то користуються першим правилом дослідження функції на екс­тремум.

Приклад. Дослідити на екстремум функцію f(x) = х³ – 3х + 2.

Маємо:

1) D(y) = R;

2) f ′ (x) = 3 x ²-3;

3) f ′ (x) = 0: 3 x ²-3 = 0;

х₁= - 1, х₂ = 1

4) f ′′ (x)= 6х

5) f ′′ (-1)= - 6; f ′′(1)= 6;

6) f ′′ (-1)= - 6 < 0; f ′′(1)= 6 > 0.

Отже, в точці х₁ = -1 функція має максимум, а в точці х₂ = 1 - мінімум;

7) f(-1)= 4; f(1)=0.

Відповідь: х₁ = -1 точка максимуму,

х₂ = 1 - точка мінімуму, f(-1)= 4; f(1)=0.

Опуклість та вгнутість

Нехай функція f диференційовна в інтервалі (а;b). Тоді в кожній точці цього інтервалу існує дотична до кривої і ця дотична не пара­лельна осі OY.

Означення 1: Крива у = f(x) називається опуклою в інтервалі(а;b), якщо вона лежить нижче, ніж будь-яка дотична, проведена в до­вільній точці цієї кривої.

Означення 2: Крива у = f(x) називається увігнутою на інтервалі(а;b), якщо вона лежить вище, ніж будь-яка дотична, проведена в довіль­ній точці цієї кривої.

Теорема. Якщо друга похідна f ״ функції f є додатною на інтервалі (а;b), то крива у=f(x) вгнута на цьому інтервалі,

а якщо від'ємна - то опукла.