Случайные величины. Случайная величина (далее СВ) – числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий

Случайная величина (далее СВ) – числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий.

СВ полностью определяется своим законом распределения, т.е. правилом, устанавливающим связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Функция распределения случайной величины X есть F_X (x) – вероятность наступления события {X < x}: F_X(x)=P{X <x}.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 0£ F_X(x) £1, -¥ < х < ¥

2. F_X(x) – неубывающая функция на всей оси, т.е. F_X(x₂) ³ F_X(x₁), если x₂ > x₁.

3. = 0.

4. = 1.

Приведем еще два утверждения относительно свойств функции распределения:

5. Вероятность того, что СВ X примет значение, заключенное в интервале [a, b) равно приращению функции распределения на этом интервале:

P(a £ X < b) = F(b) – F(a)

6. Если все возможные значения СВ X принадлежат интервалу (a, b), то:

F_X (x) = 0 при х £ a;

F_X (x) = 1 при х ³ b

Дискретная СВ – СВ, принимающая отдельные, изолированные возможные значения с ненулевыми вероятностями.

Число возможных значений дискретной СВ может быть конечным или бесконечным.

Пример 5.10.

Рассмотрим условия Примера 5.1. Пусть X – число очков, выпавших на верхней грани. Тогда X(w_i) = i. X – это случайная величина. Ее функция распределения определяется следующим образом:

F_X (x) =

На рис. 5.2 приведен график этой функции распределения.

Рис. 5.2.

Случайную величину, принимающую вещественные значения, называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, быть может, конечного числа точек.

Непрерывная СВ может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной СВ бесконечно.

Пример 5.11.

Являются ли функции, графики которых приведены на рис. 5.3, функциями распределения? Пояснить.

а. б.

Рис. 5.3.