Теория вероятностей. Теория вероятностей зародилась в XVI–XVII веках из стремления создать теорию азартных игр

Теория вероятностей зародилась в XVI–XVII веках из стремления создать теорию азартных игр. В настоящее время ее методы находят свое применение в различных областях науки и жизни. Всем нам приходится постоянно принимать решения в условиях неопределенности, в ситуациях, связанных со многими случайностями. И если в быту нам зачастую достаточно руководствоваться здравым смыслом (не зная, сколько времени придется стоять на остановке, выйти из дома минут на 15 раньше), то решения, от которых зависят судьбы людей, должны быть надежно обоснованы. А это требует тщательных расчетов и понимания вероятностных закономерностей случайных явлений.

Основные понятия теории вероятностей

Основными объектами исследования теории вероятностей являются случайное событие, которое может произойти или не произойти в результате определенного комплекса условий, называемого испытанием (опытом, экспериментом), и вероятность случайного события (мера возможности его наступления).

Эти понятия являются исходными при формальном построении теории вероятностей на базе системы аксиом, предложенной А.Н. Колмогоровым.

Пусть W – множество элементов w, которые мы будем называть элементарными событиями, а F – множество подмножеств из W. Элементы множества F будем называть случайными событиями (или просто – событиями), а W – пространством элементарных событий.

Аксиома 1. F является алгеброй множеств (система F подмножеств множества W называется алгеброй, если W Î F, объединение, пересечение и разность двух множеств системы принадлежат этой системе).

Аксиома 2. Каждому множеству A из F поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(A). Это число называется вероятностью события A.

Аксиома 3. P(W) = 1.

Аксиома 4. Если A и B не пересекаются, то P(AÈB) = P(A) + P(B).

Совокупность объектов (W, F, P), удовлетворяющую аксиомам 1 – 4, будем называть полем вероятностей.

Пример 5.1.

Бросают игральную кость – кубик, на каждой грани которого нанесено от одной до шести точек, обозначающих числа от 1 до 6.

Пространство элементарных событий, соответствующее этому испытанию, есть W = {w₁, w₂, w₃, w₄, w₅, w₆}, где элементарное событие w_i заключается в выпадении на верхней грани i точек (элементарные события называют также исходами испытания). Тогда каждому событию соответствует некоторое подмножество W. Например, событие А, заключающееся в выпадении четного числа, – это множество А={w₂, w₄, w₆}.n

Если A = W, то в результате испытания событие А обязательно должно произойти (А называется достоверным событием).

Если A = Æ, то событие А не может произойти (и называется невозможным).

Определенная системой аксиом вероятность обладает следующими свойствами:

1. Вероятность достоверного события равна 1 (P(W) =1).

2. Вероятность невозможного события равна 0 (P(Æ) = 0).

3. Вероятность случайного события есть неотрицательное число, заключенное между 0 и 1: 0 £ P(A) £ 1.

Пример 5.2.

Если в обычных условиях подбросить монету, то «монета упадет на землю (пол, стол)» – достоверное событие. В этих же условиях «монета будет парить над поверхностью стола, описывая плавные круги» – событие невозможное.n

Пусть пространство элементарных событий конечно и содержит n элементов, т.е. W = {w₁, w₂, …, w_n}.

Сопоставим каждому элементарному событию w_i вероятность P_i так, чтобы выполнялись следующие условия:

1.) P_i ³ 0, i=1, 2, …, n;

2.) .

Пусть А – произвольное случайное событие, т.е. произвольное подмножество W. Тогда вероятностью Р(А) события А назовем сумму вероятностей элементарных событий, составляющих событие А, т.е.

.

Введенная таким образом вероятность удовлетворяет сформулированной системе аксиом.

Если P₁ = P₂ = … = P_n = 1/n (т.е. все w_i равновозможны), то

P (A) = ,

где m – число элементарных событий, образующих событие А.

Другими словами, если можно определить n – общее число равновозможных исходов, и m – число исходов, благоприятных для события А, то вероятность события А есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов, т.е. Р(А) = m/n.[1]

Пример 5.3.

В условиях Примера 5.1 найти вероятность выпадения числа, не превосходящего 4.