Пределы

Рассмотрим наиболее важные для практики пределы:

1. Если функция определена в точке x = x ₀, то ; 2. ;

3. ; 4. – первый замечательный предел;

5. – второй замечательный предел ();

6. ; 7. .

Примеры. Найти пределы функций.

1. при а) х ₀ = 3; б) х ₀ = ¥.

2. ; 3. .

Решение:

1. а) .

Подстановка предельного значения аргумента х ₀=3 приводит к неопределенности вида .

Для раскрытия получившейся неопределенности найдем корни числителя: х ₁=3 и х ₂= ; и корни знаменателя: х ₁=3 и х ₂= . Тогда применяя формулу

ах ² + bх+с=а (х-х ₁)(х-х ₂), получим:

2 х ² - 5 х- 3 = = (х- 3)(2 х+ 1);

3 х ²-4 х -15= =(х -3)(3 х +5).

После преобразования числителя и знаменателя, и сокращения дроби на (х –3) (до перехода к пределу), повторяем непосредственную подстановку предельного значения.

.

б) .

При х ®¥ получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности разделим многочлены числителя и знаменателя на старшую степень аргумента, т. е. на х ².

2. .

При вычислении пределов от тригонометрических функций обычно применяется первый замечательный предел: .

3. = .

Для того, чтобы применить второй замечательный предел, воспользуемся подстановкой t=х +3. Тогда x = t –3, 2 x =2 t –6 и, если , то и .

Таким образом,