Непрерывность функции. Определение. Функция называется непрерывной в точке х = х0 , если она в этой точке определена и

Определение. Функция называется непрерывной в точке х = х ₀, если она в этой точке определена и .

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

.

Построим график этой функции (рис. 3).

Данная функция состоит из трех аналитических выражений, каждое из которых непрерывно в своей области. Поэтому функция может иметь разрывы только в местах перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х =0 и х =1.

Исследуем эти точки:

а) х =0:

; ; .

Так как предел функции при слева, равен пределу функции при справа и равен значению функции при х =0, то в этой точке функция непрерывна.

б) х =1:

; .

Так как предел слева не равен пределу справа, то в точке х =1 функция имеет разрыв 1-го рода, со скачком .