Метод Жордана-Гаусса последовательного исключения переменных

Пример. Решить систему методом Жордана-Гаусса. Найти общее, частное и базисное решение системы.

Составляем расширенную матрицу системы и проводя элементарные преобразования над строками матрицы исключаем переменные в соответствующих этой матрице системах линейных уравнений. В результате преобразований исходная матрица сводится к трапецеидальному виду. Преобразуем расширенную матрицу системы:

Поясним сделанные преобразования:

1. Первую строку умножим последовательно на (- 2), (-3), (-4) и прибавим ко второй, третьей и четвертой строкам соттветственно.

2. Вторую строку умножаем на (-1), (-2) и прибавим к третьей и четвертой строке соответственно.

3. Поменяем местами вторую и четвертую строчку.

4. Вторую строку умножаем на 2 и на (-3) и прибавим к первой и третьей строке соответственно. Удаляем четвертую – нулевую строку.

5. Третью строку умножаем на на (-1) и на (-3) и прибавляем ко второй и первой строке соответственно.

Используя последнюю матрицу, эквивалентную исходной, получаем равносильную систему уравнений следующего вида:

х ₁+ +1, 2х ₄= 1

х ₂+ +0, 4х ₄ = 3

х ₃+ −1,4 х ₄ =− 2.

Переменные х ₁, х ₂, х ₃ назовём базисными, переменную х ₄ − свободной. Полагая х ₄=0, непосредственно находим базисное решение: х ₁=1, х ₂=3, х ₃=−2.При х ₄=5, получим частное решение: х ₃=5, х ₂=1, х ₁=−5. При х ₄ = t, где t Î R, получим общее решение системы:

х ₁=1-1,2 t

х ₂=3-0,4 t

х ₃=-2+1,4 t.