Элементы аналитической геометрии

Пример. Даны координаты вершин пирамиды

.

Найти:

1) длину ребра А ₁ А ₂;

2) угол между ребрами А ₁ А ₂ и А ₁ А ₄;

3) уравнения прямой А ₁ А _2;

4) уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃;

1) Найдем координаты вектора :

.

Длину вектора А ₁ А ₂ найдем по формуле:

.

2) Вектор уже найден. Найдем вектор :

.

Скалярное произведение векторов и найдем по формуле:

.

Косинус угла между векторами и найдем по формуле:

, .

3) Составим уравнения прямой А ₁ А ₂, где . Воспользуемся уравнениями прямой, проходящей через две точки и : .

Принимая за точки и соответственно и , получим: .

Таким образом, — уравнения прямой .

4) Составим уравнение плоскости :

Пусть точка принадлежит плоскости . Рассмотрим векторы и найдем их координаты:

, , .

Так как данные вектора компланарны, то их смешанное произведение . Поэтому

Сократив на (26), получим уравнение . Это и есть уравнение плоскости .

Пример. Даны вершины треугольника : . Найти:

а) уравнения сторон треугольника;

б) систему неравенств, областью решений которой является множество точек, лежащих внутри и на границе треугольника.

Сделаем чертеж (рис.1)

а) Составим уравнения сторон треугольника . Воспользуемся уравнением: .

Так как точки принадлежат прямой АС, то

и — уравнение прямой АС.

Так как точки принадлежат прямой ВС, то

, и

— уравнение прямой ВС.

Аналогично найдем уравнение прямой АВ: 7 х +3 у +5=0

б) Рассмотрим уравнение . Этому уравнению удовлетворяют точки, лежащие на прямой АВ. Начало координат, т.е. точка О (0,0) лежит внутри треугольника АВС и координаты точки О (0,0) удовлетворяют неравенству , так как . Поэтому и координаты всех точек, лежащих с той же стороны от прямой АВ, что и точка О, будут удовлетворять неравенству .

Уравнению удовлетворяют точки, лежащие на прямой АС. Координаты точки О (0,0) удовлетворяют неравенству , так как 0<3. Следовательно и все точки, лежащие с той же стороны от прямой АС, что и точка О будут удовлетворять неравенству .

Уравнению удовлетворяют координаты точек, лежащих на прямой ВС. Координаты точки О (0,0) удовлетворяют неравенству , так как . Поэтому координаты всех точек, лежащих с той же стороны от прямой ВС, что и точка О (0,0), будут удовлетворять неравенству .

Таким образом, координаты точек, лежащих как внутри треугольника АВС, так и на его границах будут удовлетворять системе неравенств: