Дифференциальные уравнения. 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Эти уравнения можно представить в виде:

y^/ = f₁ (x) ×f₂ (y) или P₁ (x) Q₁ (y) dx+P₂ (x) Q₂ (y) dy= 0.

Решения этих уравнений поясним на примерах.

Пусть y^/=y cos x; тогда , dy=y× сos x×dx; . Интегрируя обе части полученного равенства, найдем ln = sin x+c, откуда y=e ^{sin x+c} — общее решение данного уравнения.

Рассмотрим уравнение .

Разделим обе части полученного уравнения на .

Получим: .

Переменные х и у разделились в этом равенстве. Интегрируя его, найдем: .

Вычислим первый интеграл :

Пусть тогда ,

.

Второй интеграл вычисляется аналогично: .

Следовательно,

— это общий интеграл данного уравнения.

Выражая из общего интеграла функцию у, можно найти общее решение дифференциального уравнения.

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение первого порядка называется однородным, если f (x, y) является однородной функцией нулевого порядка, т.е. f(tx,ty)=t⁰f(x,y)=f(x,y).

Подстановкой , или , это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Находим , . Делаем подстановку: . Тогда

Интегрируя, получим

.

Следовательно — общее решение данного уравнения.

3. Линейные дифференциальные уравнения.

Уравнение вида: где непрерывные в некоторой области функции, называется линейным. Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , действие которой покажем на примере.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Делаем подстановку , где u и v неизвестные пока функции аргумента х. Находим и подставляем значения и в данное уравнение или . Выберем функцию так, чтобы . Тогда функция будет находиться из уравнения . Таким образом, нахождение неизвестной функции сводится к последовательному нахождению функций и из указанных уравнений:

Подставим это значение в уравнение . Получим или Интегрируя это равенство найдем и окончательно, — общее решение данного уравнения.