Неприводимые многочлены над

Теорема 18.2. (Критерий Эйзенштейна). Если для многочлена с целыми коэффициентами () такими, что существует простое число с условиями: 1) не делится на ; 2) ⋮ и 3) не делится на , то неприводим над полем рациональных чисел .

Замечание. Критерий Эйзенштейна не является критерием в полном смысле этого слова, так как теорема обратной силы не имеет.

Следствие. Над полем рациональных чисел существуют неприводимые многочлены любой степени .

В качестве примеров таких многочленов можно взять многочлены вида , которые удовлетворяют всем требованиям критерия Эйзенштейна ().

Заметим, что критерий Эйзенштейна применим не ко всем неприводимым над полем многочленам. В некоторых случаях помогает

Теорема 19.2. Если многочлен с рациональными коэффициентами и , где , то неприводим над тогда и только тогда, когда многочлен неприводим над .

Пример 20. 1) К многочлену критерий Эйзенштейна применим напрямую (достаточно взять ). Значит, неприводим.

2) Пусть . К этому многочлену критерий Эйзенштейна напрямую применить невозможно. Разложим по степеням , подбирая многочлен , к которому можно применить критерий Эйзенштейна. Вообще говоря, нужно последовательно перебирать значения , пока не натолкнёмся на подходящее. Мы же сразу возьмём и разложим по степеням с применением алгоритма, следующего из схемы Горнера.

Таким образом, , где неприводим над полем (достаточно для применения критерия Эйзенштейна взять ). Значит, по теореме 19.2 и многочлен неприводим над полем .

9. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.

Нахождение рациональных корней многочлена с рациональными коэффициентами () сводится к задаче о нахождении рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами, так как , где и любой корень многочлена является корнем многочлена и наоборот.