Многочлены над полем действительных чисел

Напомним, что если комплексное число имеет вид , то сопряжённое имеет вид . При этом выполняются следующие свойства: ; ; ; ; .

Теорема 16.2. (О комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами). 1) Если и - корень , то тоже корень , т.е. . 2) Если , то имеет чётное количество комплексных недействительных корней.

Следствие. Любой многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень, а значит, приводим над полем действительных чисел.

Теорема 17.2. (О неприводимых многочленах над полем ). Над полем действительных чисел неприводимы только многочлены первой степени или многочлены второй степени, для которых существуют и такие, что .

Следствие. Легко получить, что многочлен второй степени с действительными коэффициентами неприводим над полем действительных чисел тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицателен ().