Алгоритм решения уравнений четвёртой степени в радикалах

1. Уравнение четвёртой степени делением обеих частей на приводим к равносильному уравнению .

2. Заменой приводим к уравнению (2) .

3.Находим - один из корней кубического уравнения .

4. Все корни уравнения (2) находим, как корни совокупности уравнений

где - один из комплексных квадратных корней из комплексного числа , а - другой корень.

5. Находим корни исходного уравнения по формулам: .

Уравнения третьей и четвёртой степени в общем виде (т.е. с выводом формул, выражающих корни уравнения через его коэффициенты в радикалах) были решены в начале и середине 16 века итальянскими математиками дель Ферро, Никколо Тарталья, Джироламо Кардано и Луиджи Феррари. И только в начале 19 века норвежский математик Нильс Хенрик Абель, опираясь на труды многочисленных предшественников, в частности, Гаусса и Лагранжа, доказал, что невозможно корни уравнений пятой и выше степени выразить через коэффициенты соответствующего уравнения в радикалах. А полностью задачу о разрешимости уравнений в радикалах решил француз Эварист Галуа. И так как уравнения пятой и выше степени не имеют решения в общем виде, то пришлось искать другие приёмы их решения, вылившиеся в теорию многочленов.

Многочлены. Основные понятия и свойства. Делимость. Теорема Безу.

Определения и обозначения. Ненулевой многочлен с коэффициентами из некоторого поля записывается в канонической форме (или в каноническом виде) как выражение , где - неотрицательное целое число. При этом число называется степенью многочлена . - старший коэффициент, - свободный член многочлена . Степенью нулевого многочлена называется символ . Степень многочлена обозначается . Множество всех многочленов с коэффициентами из поля обозначается как .

Теорема 5.2. (О свойствах степени). Для любых многочленов с коэффициентами из поля выполняются свойства:

1)

2)

Определение. Многочлен делится на многочлен , если существует многочлен такой, что .

Обозначение. ⋮ .

Пример 16. 1) ⋮ над любым числовым полем. 2) ⋮ над полем комплексных чисел . 3) Для любого натурального числа и элемента выполняются свойства: ⋮ , в частности, ⋮ ; ⋮ .

Теорема 6.2. (Свойства делимости многочленов). Для любых многочленов выполняются свойства:

1) ⋮ 0⋮ и для любого : ⋮ .

2) Если ⋮ и ⋮ , то ⋮ .

3) Если и ⋮ , то .

4) Если ⋮ и ⋮ , то существует : .

5) Если ⋮ то ⋮ .

6) Если ⋮ и ⋮ , то ⋮ .

Определение. Многочлены называются ассоциированными над полем , если существует такой, что .

Обозначение. Ассоциированность над полем многочленов обозначается как .

Следствия. 1) Если , то множество всех многочленов, ассоциированных с над полем ,имеет вид: , где . 2) ⋮ и ⋮ .

Определение. Пусть и элемент . Тогда з начением многочлена при называется выражение (элемент поля ) .

Теорема 7.2. (Теорема Безу). Пусть . Тогда существует, причём единственный многочлен такой, что .

Определение. Элемент называется корнем многочлена , если .

Следствие из теоремы Безу. Элемент является корнем многочлена тогда и только тогда, когда ⋮ .