Алгоритм нахождения рациональных корней многочлена

1. Редукция от к .

2. Находим многочлена и все и такие, что 1) ⋮ , 2) ⋮ . Исключаем среди дробей сократимые.

3. Находим и и проверяем выполнение условий ⋮ ⋮(.

4. Для некоторых целых чисел находим значения и проверяем выполнение условия ⋮ (пункты 3 и 4 нужны для отсеивания лишних претендентов на роль рациональных корней многочлена ).

5. Оставшиеся не отсеянными на роль корней дроби проверяем на выполнение условия . Полученные корни и являются искомыми.

Пример 21. Найти рациональные корни многочлена .

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Имеем . Так как необходимо ⋮ , ⋮ , то 6⋮ и 6⋮ . Значит, и . Поэтому .

В этом множестве есть сократимые, т.е. не взаимно простые дроби. При решении их нужно исключить. Решение оформляем в виде таблицы, в клеточках которой, соответствующих дроби , ставим 0, если дробь является корнем , и в противном случае. В нашей заготовке сразу исключим из рассмотрения сократимые дроби.

	-1		-2		-3		-6
			-	-			-	-
					-	-	-	-
			-	-	-	-	-	-

Теперь только дроби, соответствующие незаполненным клеточкам в таблице и только они, могут быть рациональными корнями многочлена .

Вычисляем по схеме Горнера.

			-6	-6	-5
				-1	-6
-1		-1	-5	-1	-4

Значит, . 1 – корень , -1 не является корнем. Поэтому можно проверять лишь выполнение условия ⋮ или 10⋮ .

Заметим, что дробь не является корнем , так как для неё и 10 не делится на 7. Аналогично исключаем дроби: .

Далее находим :

			-6	-6	-5

Итак, и, используя свойство ⋮ , исключаем дополнительно дроби: .

Оставшиеся дроби проверяем по схеме Горнера.

			-6	-6	-5
-2		-7		-22	-39	≠0
-3		-13		-105		≠0
		-4		-6
						≠0
			-7			≠0
				-6	-9

Итак, рациональными корнями данного многочлена являются числа 1; .