Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе

Определение. Элемент называется алгебраическим над полем , если является корнем какого-нибудь ненулевого многочлена с коэффициентами из поля . Если при этом , то - алгебраический иррациональный над полем .

Пример 22. 1) Любой элемент из поля является алгебраическим над , т.к. является корнем ненулевого многочлена . 2) Элемент является алгебраическим над полем , т.к. является корнем ненулевого многочлена . 3) Найдём ненулевой многочлен , корнем которого является элемент .

Найдём равенство, в котором линейная комбинация целых неотрицательных степеней равна 0.

Имеем . Таким образом, является корнем ненулевого многочлена . Тем самым, дополнительно доказано, что элемент является алгебраическим над полем .

Пусть - алгебраический иррациональный элемент над полем ; и . Требуется элемент представить в виде линейной комбинации неотрицательных степеней с коэффициентами из поля , т.е. исключить элемент из знаменателя дроби. Достаточно научиться решать данную задачу для выражения .

Ищем многочлен такой, что . и . Достаточно найти произвольный многочлен такой, что . Тогда можно взять многочлен .

Поскольку , то существуют многочлены : . Но . Тогда из равенства получаем , что и требуется.

Пример 23. Освободиться от алгебраической над полем иррациональности в выражении .

В данной задаче можно взять . Или . Но мы возьмём . Тогда и . Ищем многочлен из , корнем которого является : . Возьмём многочлен . Так как , то . Найдём нужные многочлены . Для этого делим на (можно по схеме Горнера):

Значит, . Тогда или . Поэтому

Продолжая вычисления дальше, получим:

.