![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Элемент называется алгебраическим над полем
, если
является корнем какого-нибудь ненулевого многочлена с коэффициентами из поля
. Если при этом
, то
- алгебраический иррациональный над полем
.
Пример 22. 1) Любой элемент из поля
является алгебраическим над
, т.к. является корнем ненулевого многочлена
. 2) Элемент
является алгебраическим над полем
, т.к.
является корнем ненулевого многочлена
. 3) Найдём ненулевой многочлен
, корнем которого является элемент
.
Найдём равенство, в котором линейная комбинация целых неотрицательных степеней равна 0.
Имеем
. Таким образом,
является корнем ненулевого многочлена
. Тем самым, дополнительно доказано, что элемент
является алгебраическим над полем
.
Пусть - алгебраический иррациональный элемент над полем
;
и
. Требуется элемент
представить в виде линейной комбинации неотрицательных степеней
с коэффициентами из поля
, т.е. исключить элемент
из знаменателя дроби. Достаточно научиться решать данную задачу для выражения
.
Ищем многочлен такой, что
. и
. Достаточно найти произвольный многочлен
такой, что
. Тогда можно взять многочлен
.
Поскольку , то существуют многочлены
:
. Но
. Тогда из равенства
получаем
, что и требуется.
Пример 23. Освободиться от алгебраической над полем иррациональности в выражении
.
В данной задаче можно взять . Или
. Но мы возьмём
. Тогда
и
. Ищем многочлен из
, корнем которого является
:
. Возьмём многочлен
. Так как
, то
. Найдём нужные многочлены
. Для этого делим
на
(можно по схеме Горнера):
-4 | -32 | -28 | |||
-3 | -35 | -63 |
Значит, . Тогда
или
. Поэтому
Продолжая вычисления дальше, получим:
.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 2641 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!