Алгоритм решения уравнений третьей степени в радикалах

1. Уравнение третьей степени делением обеих частей на приводим к равносильному уравнению .

2. Заменой приводим к уравнению .

3. Вычисляем - дискриминант кубического уравнения.

4. Находим один из корней уравнения , вообще говоря, с комплексными коэффициентами (если , то берём любой комплексный квадратный корень из ), и число . При этом, если , то и , и в пункте 2 уравнение принимает вид , решение которого очевидно.

5. Если , то находим корни уравнения : , где - комплексные недействительные корни кубические из единицы.

6. Находим корни исходного уравнения .

Теорема 4.2. (О множестве всех решений кубического уравнения с действительными коэффициентами). Пусть - дискриминант кубического уравнения (1) . Тогда

1) если , то уравнение (1) имеет один действительный и два недействительных комплексных сопряжённых корня;

2) если , то все три корня уравнения (1) действительные и хотя бы два из них совпадают;

3) если , то все три корня уравнения (1) действительные и различные.

Пример 15. Решить уравнение методом Кардано.

Так как исходное уравнение является приведённым, то сразу делаем замену : .

Итак, . Тогда . Значит, по теореме 4.2 уравнение имеет один действительный и два недействительных комплексных сопряжённых корня. Находим один из корней уравнения или . Возьмём . Тогда . Поэтому , , .

Находим корни исходного уравнения по формулам: . Итак, .