Решение задач с использованием уравнения сферы

Цель: научиться составлять уравнение сферы, решать задачи с использованием уравнения сферы.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 61.

Виды самостоятельной работы:

- составление уравнения сферы;

- решение задач с помощью уравнения сферы.

Краткая теоретическая справка

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы.

Пусть центр сферы, точка О, имеет координаты (x₀; y₀; z₀), радиус сферы равен R. Если точка М (x; y; z) лежит на данной сфере, то расстояние между точками О и М равно:

.

Так как ОМ = R, то

,

.

Последнее уравнение называют уравнением сферы радиуса R с центром в точке (x₀; y₀; z₀).

Практические задания для аудиторной работы

1. Точки А (3; -5; 6) и В (5; 7; -1) являются концами одного из диаметров сферы. Составьте уравнение этой сферы.

2. Дана сфера . Найти координаты точек пересечения сферы с прямой, проходящей через начало координат и точку А (4; 5; 3).

3. Даны точки А (-1; 3; 2), В (0; 3; 1), С(2; -2; 0), D(-4; 2; 2), Е(5; 7; 8). Какие из этих точек принадлежат сфере с центром О (-2; 1; 0) и радиусом 3?

Практические задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Составьте уравнение сферы с центром О (2; 3; 4) и радиусом R=5.

2. Точки А (7; -2; 4) и В (9; -8; 6) лежат на поверхности сферы и на прямой, проходящей через её центр. Составьте уравнение сферы.

Вариант 2

1. Составьте уравнение сферы с центром О (-3; 0; 4) и радиусом .

2. Сфера имеет центр в точке С(2; -1; 3) и проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы.

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Что называют сферой?

2. Вращением какой плоской фигуры можно подучить сферу?

3. Что называют диаметром сферы?

4. Какая фигура получается при пересечении сферы и плоскости, двух сфер?

5. Запишите уравнение сферы.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.