Нахождение угла между векторами

Цель: научиться вычислять скалярное произведение векторов, находить угол между векторами.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 64.

Виды самостоятельной работы:

- вычисление скалярного произведения векторов;

- нахождение угла между векторами.

Краткая теоретическая справка

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение равно нулю.

,

где - угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения векторов:

- переместительное свойство: ;

- сочетательное свойство: ;

- распределительное свойство: .

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

.

Формула для вычисления угла между векторами:

.

Эта же формула в координатах:

.

Практические задания для аудиторной работы

1. Найдите значение m, при котором следующие векторы взаимно перпендикулярны: и .

2. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А(1; -1; 3), В(3; -1; 1) и С(-1; 1; 3).

3. Известно, что , , . Вычислите .

Практические задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1) и С(1; 2; -1). Вычислите угол между векторами и .

2. Известно, что , , . Вычислите .

Вариант 2

1. Даны точки А(5; 0; 0), В(1; 1; 1) и С(3; -1; 2). Вычислите угол между векторами и .

2. Известно, что , , . Вычислите .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Что называется скалярным произведением двух векторов?

2. При каком условии скалярное произведение двух векторов может быть равно нулю?

3. Какими свойствами обладает скалярное произведение?

4. Чему равно скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?

5. Как вычислить косинус угла между векторами, если известны их координаты?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.