Решение задач с использованием координатно-векторного метода

Цель: научиться решать задачи с использованием координатно-векторного метода.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 65.

Виды самостоятельной работы:

- нахождение расстояния между двумя точками;

- вычисление угла между отрезками;

- вычисление скалярного произведения векторов.

Краткая теоретическая справка

Координатный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный и при правильном подходе позволяет решить фактически все виды математических, физических, астрономических, и технических задач.

Если в пространстве введена прямоугольная система координат OXYZ, то каждой точке ставится в соответствие тройка чисел (x; y; z).

В данном методе используются следующие формулы:

- середина отрезка между точками А₁ (х₁;y₁;z₁) и А₂ (х₂;y₂;z₂) имеет координаты

;

- расстояние между точками А₁ (х₁;y₁;z₁) и А₂ (х₂;y₂;z₂) равно

;

- множество точек(x; y; z),координаты которых удовлетворяют уравнению

есть сфера с центром (x₀; y₀; z₀), и радиусом R;

- множество точек (x; y; z), координаты которых удовлетворяют уравнению

, есть плоскость;

- расстояние от точки (x₀;y₀;z₀) до плоскости вычисляется по формуле

.

Практические задания для аудиторной работы

1. Вычислить расстояние от начала координат до плоскости 2 x + 3 y - 6 z + 14= 0.

2. В единичном кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ найдите угол между прямыми АВ₁ и ВС₁.

3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S высота равна диагонали основания. Точка F лежит на середине ребра SA. Найдите квадрат тангенса между прямыми SD и BF.

Практические задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Найти расстояние от точки А (- 1;3;0) до плоскости, заданной уравнением x -3 y -2 z +5 = 0.

2. В единичном кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ найдите угол между прямыми ВА₁ и СВ₁.

Вариант 2

1. Найти расстояние от точки А (2;3;5) до плоскости, заданной уравнением 3 x - y +2 z +7 = 0.

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S высота равна диагонали основания. Найдите косинус угла между прямыми АD и SС.

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. По каким формулам вычисляется середина отрезка, если заданы координаты его концов?

2. Чему равно расстояние между точками А₁ (х₁;y₁;z₁) и А₂ (х₂;y₂;z₂)?

3. Что представляет собой множество точек, удовлетворяющих уравнению

?

4. Как можно вычислить угол между скрещивающимися прямыми?

5. Как вычислить расстояние между точкой и плоскостью?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.