В заданном базисе

Цель: научиться раскладывать вектор по трем заданным некомпланарным векторам, находить координаты вектора в заданном базисе.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 63.

Виды самостоятельной работы:

- разложение вектора по трем некомпланарным векторам;

- нахождение координат вектора в заданном базисе.

Краткая теоретическая справка

Базис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов. Векторы, входящие в базис, должны быть некомпланарными.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Признак компланарности трех векторов. Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде , где х и у — некоторые числа, то векторы , и компланарны.

Любой декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Если это относится к прямоугольным декартовым координатам, тогда соответствующий базис называется ортогональным.

Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.

В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).

Декартовы координаты в трехмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Принято по умолчанию использовать правые базисы (это общепринятое соглашение, если только какие-то особые причины не заставляют от него отойти — и тогда это оговаривается явно). Базисом, соответствующим такой системе координат является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (изображаются три базисных вектора как правило исходящими из общего начала).

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например: или - типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости);

или - трехмерного пространства.

Для трехмерного пространства часто по традиции используется и обозначение .

Представление какого-то конкретного (любого) вектора пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты называются коэффициентами разложения или координатами вектора в данном базисе. Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании дают один и тот же вектор.

Практические задания для аудиторной работы

1. Точка К – середина ребра ВС тетраэдра . Разложите вектор по векторам , и .

2. Точка К – середина ребра В₁С₁ куба . Разложите вектор по векторам , , и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно m.

3. Дан вектор . Найдите вектор , если , абсцисса вектора равна ординате вектора , а ордината вектора равна нулю.

Практические задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке М. Разложите векторы и по векторам , и .

2. Дан вектор . Найдите вектор , если , аппликата вектора равна абсциссе вектора , а ордината вектора равна нулю.

Вариант 2

1. В тетраэдре ABCD медиана АА₁ грани АВС делится точкой К так, что . Разложите вектор по векторам , , .

2. Дан вектор . Найдите вектор , если , ордината вектора равна аппликате вектора , а абсцисса вектора равна 5.

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Что называют векторным базисом в пространстве?

2. Какие вектора называются компланарными?

3. Какими не могут быть вектора в векторном базисе?

4. Какими бывают базисы?

5. Что называют разложением вектора по базису?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.