И плоскости в пространстве

Цель: научиться составлять уравнения прямых, заданных разными способами, и уравнения плоскостей.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 60.

Виды самостоятельной работы:

- составление уравнений прямых, заданных разными способами;

- составление уравнений плоскостей.

Краткая теоретическая справка

Уравнение плоскости, проходящей через точку (x₀;y₀;z₀), перпендикулярно вектору имеет вид .

Раскрыв скобки в данном уравнении получим:

.

Обозначив через D, получим уравнение

, (1).

Данное уравнение называют общим уравнением плоскости.

Особые случаи уравнения (1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Способы задания уравнения прямой в пространстве:

1) векторное уравнение прямой имеет вид , где - координаты вектора , перпендикулярного данной прямой, - координаты точки М, принадлежащей данной прямой;

2) каноническое уравнение прямой - ,

3) параметрическое уравнение прямой - где - координаты точки М, принадлежащей данной прямой, - координаты вектора, параллельного прямой;

4) уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(х₁;y₁;z₁) и В (х₂;y₂;z₂):

;

5) как пересечение двух плоскостей, т.е. система уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0.

Практические задания для аудиторной работы

1. Составьте векторное уравнение прямой, проходящей через точку М₀, перпендикулярно вектору : .

2. Составьте каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку М₀, параллельно вектору : .

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки М₁(-4;1;-3) и М₂(-5;0;3).

4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Практические задания для самостоятельной работы

1. Составьте векторное уравнение прямой, проходящей через точку М₀, перпендикулярно вектору .

2. Составьте каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку М₀, параллельно вектору .

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки.

4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Вариант 1

1. .

2. .

3. М₁(-3;5;-7) и М₂(-2;1;0).

4. , .

Вариант 2

1. .

2. .

3. М₁(-5;6;8) и М₂(2;-1;2).

4. , .

Вариант 3

1. .

2. .

3. М₁(-5;6;8) и М₂(2;-1;2).

4. , .

Вариант 4

1. .

2. .

3. М₁(3;5;7) и М₂(8;-1;3).

4. , .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Какое уравнение называют общим уравнением плоскости?

2. Как задается уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору?

3. Запишите каноническое уравнение прямой.

4. Как задается векторное уравнение прямой? Есть ли общее с уравнением плоскости?

5. Запишите параметрическое уравнение прямой.

6. Можно ли задать уравнение прямой, проходящей через две точки?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.