Применение производной второго порядка к исследованию графика функции на выпуклость и перегиб

Цель: научиться применять производную второго порядка к исследованию графика функции на выпуклость и перегиб.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 35.

Виды самостоятельной работы:

- нахождение производной первого и второго порядков;

- определение характера выпуклости с помощью второй производной;

- нахождение точек перегиба.

Краткая теоретическая справка

Кривая называется выпуклой вниз (вверх) в промежутке , если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке этого промежутка.

Выпуклость кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком её второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Если в точке перегиба x₀ существует вторая производная f ''(x₀), то .

Теорема. Пусть дифференцируема на промежутке . Если во всех точках промежутка вторая производная функции y=f(x) отрицательная, т.е. , то график функции на этом промежутке выпуклый, если же – вогнутый.

Практические задания

Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

Для аудиторной работы

а) ; б) ; в) ; г) .

Для самостоятельной работы

Вариант 1

а) ; б) ; в) .

Вариант 2

а) ; б) ; в) .

Вариант 3

а) ; б) ; в) .

Вариант 4

а) ; б) ; в)

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Понятие выпуклости функции.

2. Понятие точки перегиба функции.

3. Как с помощью второй производной определить характер выпуклости функции.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.