Применение производной первого порядка к исследованию функции на монотонность и экстремумы функции

Цель: научиться находить промежутки возрастания и убывания функции, определять точки экстремума функции.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 33.

Виды самостоятельной работы:

- определение характера монотонности функции и нахождение промежутков возрастания и убывания функции;

- исследование функции на экстремум с помощью первой производной.

Краткая теоретическая справка

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Функция называется возрастающей на промежутке , если для любых таких, что , имеет место равенство .

Функция называется убывающей на промежутке , если для любых таких, что , имеет место равенство .

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком её производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , то функция убывает в этом промежутке.

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство . Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Необходимое условие экстремума функции: если функция f(x) определена в окрестности точки x₀, дифференцируема в этой точке и имеет экстремум, то f '(x₀) = 0.

После выполнения необходимого условия экстремума функции, для определения характера экстремума функции следует проверить выполнение одного из достаточных условий.

Первое достаточное условие экстремума функции: если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума; если же с плюса на минус, то – точка максимума.

Практические задания

1. Найти промежутки монотонности функции.

2. Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной.

Для аудиторной работы

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

Для самостоятельной работы

Вариант 1

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

Вариант 2

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

Вариант 3

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

Вариант 4

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-2.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Понятие возрастающей и убывающей функции.

2. Теоремы о возрастании и убывании функции.

3. Необходимое и достаточное условия экстремума функции.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.