Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка

Рассмотрим систему из двух уравнений общего вида

(3)

Нужно найти действительные корни x и y с заданной степенью точности e.

Предположим, что данная система имеет корни и их можно установить. Итак, для применения метода простой итерации систему (3) нужно привести к виду:

(4)

где j₁ и j₂ – итерирующие функции. По ним и строится итерационный процесс решения в виде:

n = 0,1,2,… (5)

где при n = 0, x ₀ и y ₀ – начальные приближения.

Имеет место утверждение: пусть в некоторой замкнутой области R (a £ x £A; b £ y £B) имеется одно и только одно единственное решение x =g; y =b, тогда:

1) если j₁(x, y) и j₂(x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в R;

2) если начальное решение x ₀, y ₀ и все последующие решения x_n, y_n также принадлежат R;

3) если в R выполняются неравенства:

(6)

или равносильные неравенства:

(6’)

то тогда итерационный процесс (5) сходится к определенным решениям, т.е.

Оценка погрешности n -го приближения дается неравенством:

где М – наибольшее из чисел q ₁ или q ₂ в соотношениях (6) и (6`).

Сходимость считается хорошей, если М <1/2. Если совпадают три значащие цифры после запятой в соседних приближениях, то обеспечивается точность e = 10^–3.

41.Метод Ньютона для систем решения нелинейных уравнений:

Для 2-х систем уравнений.

Пусть дана система

Согласно методу Ньютона последовательные приближения типа (5) вычисляются по формулам

где

n = 0,1,2,...

и, если Якобиан

¹ 0

решение будет единственным.

Начальные значения x ₀ и y₀ определяются грубо (приближенно – графически или «прикидкой»). Данный метод эффективен только при достаточной близости начального приближения к истинному решению системы.

Для систем n-го порядка с n неизвестными

Для метода Ньютона функции F_i = (x ₁, x ₂,..., x_n) из (1) раскладываются в ряд Тэйлора с отбрасыванием производных второго и выше порядков.

Пусть известен результат предварительной итерации при решении (1) дает результат для = (a ₁, a ₂,..., a_n).

Задача сводится к нахождению поправок этого решения: D x ₁, D x ₂,..., D x_n.

Тогда при очередной итерации решение будет:

x ₁ = a ₁ + D x ₁; x ₂ = a ₂ + D x ₂; …, x_n = a_n + D x_n . (8)

Для нахождения D x_i разложим F_i (x ₁, x ₂,..., x_n) в ряд Тейлора:

(9)

Приравняем правые части согласно (1) к нулю и получим систему линейных уравнений относительно D x_i:

(10)

Значения F ₁, F ₂, …, F_n и их производных вычисляются при x ₁= a ₁, x ₂= a ₂,..., x_n = a_n. Расчет ведется с учетом (8) по (9) и (10). Процесс прекращается, когда max|D x_i | < e. При этом будет иметь место единственное решение системы, если Якобиан

По сходимости этот метод выше метода простой итерации.