Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Заказать написание работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Для системы равноотстоящих узлов



В случае равностоящих узлов имеется много различных формул, построение которых зависит от расположения точки интерполирования хТ по отношению к узлам интерполирования.

Пусть функция f(x) задана таблицей значений fk = f(xk) = yk в узлах xk=x0+kh (k = ), h = xk+1 xk = const.

На основании условий (3) и аппарата конечных разностей для определения коэффициентов для искомого многочлена (17) получена формула , k = ; при условии, что D0 = 1; 0! = 1. (22)

Подставляя (22) в (17) получим формулу Ньютона для интерполирования в начале таблицы

(23)

При этом конечные разности определяются или по схеме (табл.1) или по формуле для произвольного узла (19).

Для практического удобства формула (23) часто записывают в другом виде. Вводится новая переменная t = (xx0)/h. Тогда имеем: x = x0 + kh;

’ …’

и (23) примет вид

N(x0 + th) = y0 + t . (24)

Выражение (24) может аппроксимировать y = f(x) на всем отрезке [x0, xn]. Однако, с точки зрения повышения точности расчетов, и уменьшения числа членов в (24), рекомендуется ограничиться случаем t < 1, т.е. использовать формулу (24) для интервала x0 £ x £ x1. Для других значений аргумента, например, для x1 £ x £ x2, вместо x0 лучше взять значение x1. Тогда (24) можно записать в виде


N(xi+th) = yi+ ; i = 0,1,…

(25)

Выражение (25) называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Он используется для вычисления значений функций в точках левой половины рассматриваемого отрезка.

Это объясняется тем, что разности Dkyi вычисляются через значение функции yi, yi+1, ..., yi+k, причем i + k £ n. Поэтому при больших значениях i нельзя вычислить значения разностей высших порядков (k £ n i). Например, при i = n – 3 в (25) можно учесть только Dy, D2y, D3y.

Для правой половины отрезка разности рекомендуется вычислять справа налево. В этом случае t = (x xn) / h, т.е. t < 0 и (25) можно получить в виде

N(xn + th) = yn +

(26)

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад. Для интерполирования в средине отрезка можно использовать интерпретации многочлена Ньютона – это многочлены Стирлинга, Гаусса, Бесселя. Погрешность метода Ньютона:

при t = , x – принадлежит отрезку.





Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 826 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2022 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.025 с)...